平面の方程式の問題　別解１

■問題

空間座標上の3点 $3$\displaystyle{ \text{A} $ 2,1,2 $ }$ ， $3$\displaystyle{ \text{B} $ 1,3,1 $ }$ ， $3$\displaystyle{ \text{C} $ 1,- 1,2 $ }$ を通る平面の方程式を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{ 2x- y- 4z+5=0 }$

■ヒント

点 $3$\displaystyle{ \text{A} $ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{y}_{1},\hspace{1}{z}_{1} $ }$ を通り，法線ベクトル $3$\displaystyle{ {n}\limits^{\longrightarrow }= $ a,b,c $ }$ の平面の方程式

$3$\displaystyle{ a $ x- \hspace{1}{x}_{1} $ +b $ y- \hspace{1}{y}_{1} $ +c $ z- \hspace{1}{z}_{1} $ =0 }$

を用いる．

■解説

法線ベクトルを求める．

$3$\displaystyle{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ =\left({ 1,3,1 }\right)- \left({ 2,1,2 }\right) }$ $3$\displaystyle{ =\left({ - 1,2,- 1 }\right) }$

$3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ 1,- 1,2 }\right)- \left({ 2,1,2 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ - 1,- 2,0 }\right)}$

$3$\displaystyle{ {n}\limits^{\longrightarrow }\bot{ \text{AB} }\limits^{\longrightarrow } }$ より

$3$\displaystyle{ {n}\limits^{\longrightarrow }\cdot { \text{AB} }\limits^{\longrightarrow }=0 }$

$3$\displaystyle{ $ a,b,c $ \cdot $ - 1,2,- 1 $ =0 }$

$3$\displaystyle{ - a+2b- c=0 }$ 　･･････(1)

また， $3$\displaystyle{ {n}\limits^{\longrightarrow }\bot{ \text{AC} }\limits^{\longrightarrow } }$ より

$3$\displaystyle{ {n}\limits^{\longrightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\longrightarrow }=0 }$

$3$\displaystyle{ $a,b,c$\cdot $- 1,- 2,0$=0 }$

$3$\displaystyle{ - a- 2b=0 }$

$3$\displaystyle{ a=- 2b }$ 　･･････(2)

(2)を(1)に代入する．

$3$\displaystyle{- \left({ - 2b }\right)+2b- c=0}$

$3$\displaystyle{c=4b}$ 　･･････(3)

(1)，(2)，(3)より

$3$\displaystyle{ a:b:c=- 2:1:4 }$

となる.

よって，求める方程式は

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}- 2 $ x- 2 $ + $ y- 1 $ +4 $ z- 2 $ =0& \vspace{6}\\ - 2x+y+4z- 5=0& \vspace{6}\\ \end{array}}$

両辺に $3$\displaystyle{- 1}$ をかけて

$3$\displaystyle{2x- y- 4z+5=0}$

となる．

●外積で法線ベクトル $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }}$ を求める

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }=\left|{ \begin{array}{i}\limits^{\rightarrow }&{j}\limits^{\rightarrow }&{k}\limits^{\rightarrow }& \vspace{6}\\ - 1 &2& - 1 & \vspace{6}\\ - 1 & - 2 &0& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$ 　(ここを参照)

$3$\displaystyle{=\left|{ \begin{array}2& - 1 & \vspace{6}\\ - 2 &0& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|{i}\limits^{\rightarrow }- \left|{ \begin{array} - 1 & - 1 & \vspace{6}\\ - 1 &0& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|{j}\limits^{\rightarrow }+\left|{ \begin{array} - 1 &2& \vspace{6}\\ - 1 & - 2 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|{k}\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{=\left({ 0- 2 }\right){i}\limits^{\rightarrow }- \left({ 0- 1 }\right){j}\limits^{\rightarrow }+\left({ 2+2 }\right){k}\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{=- 2{i}\limits^{\rightarrow }+{j}\limits^{\rightarrow }+4{k}\limits^{\rightarrow }}$

よって

$3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }=\left({ - 2,1,4 }\right)}$

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年1月15日

平面の方程式の問題 別解１

■問題

■答

■ヒント

■解説

●外積で法線ベクトル を求める

平面の方程式の問題　別解１

●外積で法線ベクトル $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }}$ を求める