平面の方程式の問題　別解２

■問題

空間座標上の3点 $3$\displaystyle{ \text{A} $ 2,1,2 $ }$ ， $3$\displaystyle{ \text{B} $ 1,3,1 $ }$ ， $3$\displaystyle{ \text{C} $ 1,- 1,2 $ }$ を通る平面の方程式を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{ 2x- y- 4z+5=0 }$

■ヒント

3点を含む平面上の点を $3$\text{P}$ $3$\displaystyle{ $ x,y,z $ }$ とすると， $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\longrightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\longrightarrow }}$ を用いて $3$\displaystyle{{ \text{AP} }\limits^{\longrightarrow }}$ を表すと

$3$\displaystyle{m{ \text{AB} }\limits^{\longrightarrow }+n{ \text{AC} }\limits^{\longrightarrow }={ \text{AP} }\limits^{\longrightarrow }}$

となる． $3$\displaystyle{m}$ ， $3$\displaystyle{n}$ は媒介変数．

■解説

$3$\displaystyle{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ =\left({ 1,3,1 }\right)- \left({ 2,1,2 }\right) }$ $3$\displaystyle{ =\left({ - 1,2,- 1 }\right) }$

$3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ 1,- 1,2 }\right)- \left({ 2,1,2 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ - 1,- 2,0 }\right)}$

$3$\displaystyle{{ \text{AP} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ x,y,z }\right)- \left({ 2,1,2 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ x- 2,y- 1,z- 2 }\right)}$

$3$\displaystyle{{ \text{AP} }\limits^{\rightarrow }=m{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }+n{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{\left({ x- 2,y- 1,z- 2 }\right)}$ $3$\displaystyle{=m\left({ - 1,2,- 1 }\right)+n\left({ - 1,- 2,0 }\right)}$

$3$\displaystyle{\left({ x- 2,y- 1,z- 2 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ - m- n,2m- 2n,- m }\right)}$

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}x- 2=- m- n\text{\hspace{5}}\cdots \cdots \text{$1$}& \vspace{6}\\ y- 1=2m- 2n\text{\hspace{5}}\cdots \cdots \text{$2$}& \vspace{6}\\ z- 2=- m\text{\hspace{5}}\cdots \cdots \text{$3$}& \vspace{6}\\ \end{array}}$

(1)×２－(2)より

$3$\displaystyle{2\left({ x- 2 }\right)- \left({ y- 1 }\right)=- 4m}$ 　･･････(4)

(4)－(3)より

$3$\displaystyle{2\left({ x- 2 }\right)- \left({ y- 1 }\right)- 4\left({ z- 2 }\right)=0}$

$3$\displaystyle{2x- y- 4z+5=0}$

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年1月15日

平面の方程式の問題 別解２

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