平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の点 $3$\displaystyle{\text{A}\left({ 2,3,- 4 }\right)}$ を通り， $3$\displaystyle{z}$ 軸に垂直な平面の方程式を求めよ．

■解説動画

◇ベクトルの動画一覧のページへ

■答

$3$\displaystyle{z=- 4}$

■ヒント

$3$\displaystyle{z}$ 軸のベクトルを $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }= $ 0,0,1 $ }$ と表す．

点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ を通り， $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }}$ に垂直な平面上の点を $3$\displaystyle{\text{P}}$ とする．

$3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }}$ は平面の法線ベクトルなので， $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{ \text{AP} }\limits^{\rightarrow }}$ のなす角は90°となり，

内積は0となる．

よって

$3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AP} }\limits^{\rightarrow }=0}$ (法線ベクトルを参照)

を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AP} }\limits^{\rightarrow }=0}$ （点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ の座標を $3$\displaystyle{ $ x,y,z $ }$ とする）

$3$\displaystyle{ $ 0,0,1 $ \cdot $ x- 2,y- 3,z+4 $ =0}$

$3$\displaystyle{z+4=0}$

$3$\displaystyle{z=- 4}$

よって，求める平面の方程式は

$3$\displaystyle{z=- 4}$

である．

ホーム>>カテゴリー分類>>ベクトル>>平面と直線の方程式に関する問題>>平面の方程式の問題

学生スタッフ
最終更新日： 2025年4月18日