平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の3点 $3$\displaystyle{\text{A}\left({ 1,2,0 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\text{B}\left({ 3,0,1 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\text{C}\left({ 0,1,4 }\right)}$ を通る平面の方程式を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{- 7x- 9y+ + 4z=- 25}$

■ヒント

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ は平面のベクトルであり，外積 $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ は平面に垂直なベクトルとなる．　(法線ベクトル参照)

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{x}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{y}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{z} $ }$ ， $3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{x}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{b}_{y}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{b}_{z} $ }$ のとき

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{= $ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} $ }$

(外積の成分表示を参照)

となる．

■答

初めに， $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ を求める．

$3$\displaystyle{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }={ \text{AO} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ = $ 3,0,1 $ - $ 1,2,0 $ }$ $3$\displaystyle{ = $ 2,- 2,1 $ }$

$3$\displaystyle{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }={ \text{AO} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{OC} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ = $ 0,1,4 $ + $ 1,2,0 $ }$ $3$\displaystyle{ = $ - 1,- 1,4 $ }$

となる．

よって，求める外積 $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ は

$3$\displaystyle{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }= $ 2,- 2,1 $ ,{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }= $ - 1,- 1,- 4 $ }$ より

$3$\displaystyle{ {\text{AB}}\limits^{\rightarrow }\times {\text{AC}}\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ =\left({ - 2\times 4- 1\times \left({ - 1 }\right),1\times \left({ - 1 }\right)- 2\times 4,2\times \left({ - 1 }\right)- \left({ - 2 }\right)\times \left({ - 1 }\right) }\right) }$

$3$\displaystyle{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }= $ - 7,- 9,- 4 $ }$

となる．

したがって，点 $3$\displaystyle{ \text{A} $ 1,2,0 $ }$ を通り， $3$\displaystyle{ $ - 7,- 9,- 4 $ }$ を法線ベクトルとする平面の方程式は

$3$\displaystyle{- 7 $ x- 1 $ - 9 $ y- 2 $ - 4z=0}$

$3$\displaystyle{- 7x- 9y+ - 4z=- 25}$

となる．

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月17日