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ベクトルに関する問題

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基本問題
1. 図の $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ を成分表示で表し，そのベクトル大きさを求めよ．⇒解答
2. $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ 3,1 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\left({ - 2,3 }\right)}$ のとき， $3$\displaystyle{2{a}\limits^{\rightarrow }- {b}\limits^{\rightarrow }}$ を求めよ．また， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }=\left({ - 13,3 }\right)}$ を $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ を用いて表せ．⇒解答*
3. $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }=\left({ 1,3 }\right) }$ をベクトルの始点を中心として反時計回りに60°回転したベクトルを求めよ．⇒解答*
4. $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ 2,3 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }=\left({ 4t+3,2t- 1 }\right) }$ とする．
  [1] $3$t$ が $3$\displaystyle{- \infty}$ から $3$\displaystyle{+\infty}$ に変化したとき， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ の終点の軌跡は直線を描く．どのような直線か答よ．
  
  [2] $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ が平行な関係になるときの $3$t$ の値を求めよ．
  
  [3] $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ が垂直な関係になるときの $3$t$ の値を求めよ
  ⇒解答*
5. 点 $3$\displaystyle{\left({ 3,2 }\right)}$ と直線 $3$\displaystyle{ \left({ x,y }\right)=t\left({ 1,2 }\right)+\left({ 0,1 }\right) }$ の距離を求めよ． $3$t$ は媒介変数である．⇒解答*
6. △点 $3$\text{OAB}$ において，線分 $3$\text{OA}$ を $3$ 2:1$ に内分する点を点 $3$\text{C}$ ， $3$\text{OB}$ を $3$ 4:1$ に外分する点を点 $3$\text{D}$ ， $3$\text{OB}$ を $3$ 1:2$ に内分する点を点 $3$\text{Ｅ}$
  MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。 とする．線分 $3$\text{AE}$ と線分 $3$\text{CD}$ の交点を点 $3$\text{P}$ とする． $3$\displaystyle{{ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }={a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }={b}\limits^{\rightarrow }}$ とおくとき， $3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }}$ を $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ を用いて表せ．⇒解答
平面上のベクトル
1. p平面ベクトル $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }=\(1,3\) }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }=\(2,4\) }$ の内積を求めよ．　⇒解答*
2. 平面ベクトル $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }=\(\sqrt{5}- 1,\sqrt{3}\) }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }=\(\sqrt{5}+ 1,- \sqrt{3}\) }$ の内積を求めよ．　⇒解答
3. 平面ベクトル $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= \( 1,2 \) }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= \( 3,1 \) }$ のなす角を求めよ．　⇒解答*
4. 平面ベクトル $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= \( 5,0 \) }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= \( - 1,\sqrt{3} \) }$ のなす角を求めよ．　⇒解答
5. $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= \( 3,1 \) }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= \( 1,2 \) }$ とするとき， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }+t{a}\limits^{\rightarrow }}$ が直交するような $3$\displaystyle{t}$ を求めよ．　⇒解答*
6. $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= \( 5,0 \) }$ ， $3$\displaystyle{ {c}\limits^{\rightarrow }= \( t- 6,{t}^{2} \) }$ とするとき， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ が直交するような $3$\displaystyle{t}$ を求めよ．　⇒解答
7. $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\(- 4,3\)}$ に垂直な単位ベクトルを求めよ． ⇒解答*
8. 三角形 $3$\text{ABC}$ の頂点 $3$\text{A}$ ， $3$\text{B}$ ， $3$\text{C}$ の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ とする．この三角形 $3$\text{ABC}$ の重心 $3$\text{G}$ の位置を $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ を用いて表せ． ⇒解答
9. 三角形 $3$\text{ABC}$ の各頂点 $3$\text{A}$ ， $3$\text{B}$ ， $3$\text{C}$ と各対辺の中点のを結ぶ3つの線分(中線)は1点で交わることを示せ．　⇒解答
10. 三角形 $3$\text{ABC}$ の辺 $3$\text{BC}$ の中点を $3$\text{M}$ とすると
  $3$ { \text{AB} }^{\text{2}}+{ \text{AC} }^{\text{2}}=2 \( { \text{AM} }^{\text{2}}+{ \text{BM} }^{\text{2}} \)$
  が成り立つ(中線定理)ことを，ベクトルを用いて証明せよ．　⇒解答
11. ２つの直線 $3$\displaystyle{y=\hspace{1}{m}_{1}x+\hspace{1}{n}_{1}}$ と $3$\displaystyle{y=\hspace{1}{m}_{2}x+\hspace{1}{n}_{2}}$ （ $3$\hspace{1}{m}_{1}$ ， $3$\hspace{1}{n}_{1}$ ， $3$\hspace{1}{m}_{2}$ ， $3$\hspace{1}{n}_{2}$ は定数）が直交するとき， $3$\hspace{1}{m}_{1}$ ， $3$\hspace{1}{m}_{2}$ の間にどのような関係があるか，方向ベクトルを用いて求めよ．　⇒解答
空間におけるベクトル
1. 空間ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\(1,2,2\)}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\(2,1,2\)}$ の内積を求めよ．　⇒解答*
2. 空間ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\(4,1,1\)}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\(1,4,1\)}$ のなす角を求めよ．　⇒解答*
3. 空間ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\(1,1,\sqrt{2}\)}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\(1,2,\sqrt{3}\)}$ のなす角を $3$\displaystyle{{\theta}}$ とするとき， $3$\displaystyle{\cos {\theta}}$ 求めよ．　⇒解答
4. $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= \( 4,3,1 \) }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= \( 2,- 1,1 \) }$ のベクトルの外積 $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } }$ を求めよ．　⇒解答*
5. $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= \( 4,1,3 \) }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= \( 1,2,1 \) }$ ， $3$\displaystyle{ {c}\limits^{\rightarrow }= \( 2,- 1,2 \) }$ の外積 $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times \( {b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } \) }$ を求めよ．　⇒解答
6. $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= \( 5,3,- 2 \) }$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= \( 1,- 1,- 4 \) }$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }= \( - 6,2,- 3 \) }$ の外積 $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times \( {b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } \) }$ を求めよ．　⇒解答
7. $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= \( 4,1,3 \) }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= \( 1,2,1 \) }$ ， $3$\displaystyle{ {c}\limits^{\rightarrow }= \( 2,- 1,2 \) }$ の外積 $3$\displaystyle{ \( {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } \) \times {c}\limits^{\rightarrow }}$ を求めよ．　⇒解答*
8. $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= \( 4,1,3 \) }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= \( 1,2,1 \) }$ ， $3$\displaystyle{ {c}\limits^{\rightarrow }= \( 2,- 1,2 \) }$ の外積 $3$\displaystyle{\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times \left({ {b}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow } }\right)}}$ を求めよ．　⇒解答*
9. 原点と空間上の２点 $3$\text{A}\left({ 4,3,1 }\right)$ ， $3$\text{B}\left({ 2,1,2 }\right)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．　⇒解答*
10. 空間上の3点 $3$\text{A}\left({ 4,1,3 }\right)$ ， $3$\text{B}\left({ 1,2,1 }\right)$ ， $3$\text{C}\left({ 2,- 1,2 }\right)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．　⇒解答*

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最終更新日： 2026年1月21日