ベクトルの計算問題

■問題

点 $3$\text{OAB}$ において，線分 $3$\text{OA}$ を $3$ 2:1$ に内分する点を点 $3$\text{C}$ ， $3$\text{OB}$ を $3$ 4:1$ に外分する点を点 $3$\text{D}$ ， $3$\text{OB}$ を $3$ 1:2$ に内分する点を点 $3$\text{Ｅ}$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。 とする．線分 $3$\text{AE}$ と線分 $3$\text{CD}$ の交点を点 $3$\text{P}$ とする． $3$\displaystyle{{ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }={a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }={b}\limits^{\rightarrow }}$ とおくとき， $3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }}$ を $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ を用いて表せ．

■答

$3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 15 \hspace{2}}{b}\limits^{\rightarrow }}$

■ヒント

問題文の内容を図に描く

線分をｍ：ｎに内分する点の位置ベクトルを参照

線分をｍ：ｎに外分する点の位置ベクトルを参照

■解説

$3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }}$ を2通りで表すことにする．

●1つ目

$3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{AP} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{={ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+s{ \text{AE} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{={a}\limits^{\rightarrow }+s{ \text{AE} }\limits^{\rightarrow }}$ （ $3$\displaystyle{ { \text{AP} }\limits^{\rightarrow }=s{ \text{AE} }\limits^{\rightarrow } }$ とおいている， $3$s$ は定数）

$3$\displaystyle{{ \text{AE} }\limits^{\rightarrow }={ \text{AO} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{OE} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=- {a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{b}\limits^{\rightarrow }}$

（∵点 $3$\text{E}$ が線分 $3$\text{OB}$ を $3$\displaystyle{1:2}$ 内分することより $3$\displaystyle{\text{OE}:\text{BE}=1:2}$ ．よって， $3$\displaystyle{{ \text{OE} }\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }}$ ）

$3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }={a}\limits^{\rightarrow }+s\left({ - {a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{b}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ 1- s }\right){a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}s{b}\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(1)

●2つ目

$3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OD} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{DP} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }+t{ \text{DC} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{b}\limits^{\rightarrow }+t{ \text{DC} }\limits^{\rightarrow }}$ （ $3$\displaystyle{{ \text{DP} }\limits^{\rightarrow }=t{ \text{DC} }\limits^{\rightarrow }}$ とおいている， $3$t$ は定数）

$3$\displaystyle{{ \text{DC} }\limits^{\rightarrow }={ \text{DO} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{OC} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{b}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{a}\limits^{\rightarrow }}$

（∵点 $3$\text{D}$ が線分 $3$\text{OB}$ を $3$\displaystyle{4:1}$ 外分することより $3$\displaystyle{\text{OD}:\text{BD}=4:1}$ ．よって， $3$\displaystyle{{ \text{OD} }\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }}$ ，
点 $3$\text{C}$ が線分 $3$\text{OA}$ を $3$\displaystyle{2:1}$ 内分することより $3$\displaystyle{\text{OC}:\text{AC}=2:1}$ ．よって， $3$\displaystyle{{ \text{OC} }\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }}$ ）

$3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{b}\limits^{\rightarrow }+t\left({ - \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{b}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{a}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}t{a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ 1- t }\right){b}\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(2)

●(1)，(2)より

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}1- s=\displaystyle{\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}t}\text{ }･･････\text{$3$}& \vspace{6}\\ \displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}s}=\displaystyle{\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}\left({ 1- t }\right)\text{ }･･････\text{$4$}& \vspace{6}\\ \end{array}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

の連立方程式が得られる．

(4)の両辺を3倍する

$3$\displaystyle{s=4\left({ 1- t }\right)}$ ･･････(5)

(5)を(3)に代入する．

$3$\displaystyle{1- 4\left({ 1- t }\right)=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}t}$

$3$\displaystyle{- 3+4t=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}t}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 10 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}t=3}$

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}}}$ ･･････(6)

(6)を(5)に代入する．

$3$\displaystyle{s=4\left({ 1- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 5 \hspace{2}}}$ ･･････(7)

(7)を(1)に代入する．

$3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }=\left({ 1- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }\right){a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{b}\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 15 \hspace{2}}{b}\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(8)

確認のために，(6)を(2)に代入する．

$3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}}{a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ 1- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}} }\right){b}\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 15 \hspace{2}}{b}\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(9)

(8)，(9)より

となる．

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最終更新日： 2025年10月22日