線分をｍ：ｎに内分する点の位置ベクトル

点 $3$\text{R}$ が線分 $3$\text{PQ}$ を $3$ m:n$ の比に内分（点 $3$\text{R}$ が線分 $3$\text{PQ}$ 上にあり $3$\text{PR}:\text{QR}=m:n$ となる）するとき， $3$\displaystyle{ { \text{OR} }\limits^{\longrightarrow } }$ を $3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\longrightarrow }={p}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{OQ} }\limits^{\longrightarrow }={q}\limits^{\rightarrow }}$ を用いて表すと

$3$\displaystyle{{ \text{OR} }\limits^{\longrightarrow }=\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} m+n \hspace{2}}{p}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m+n \hspace{2}}{q}\limits^{\rightarrow }}$

となる．

$3${p}\limits^{\rightarrow }$ ， $3${q}\limits^{\rightarrow }$ はそれぞれ点 $3$\text{P}$ ， $3$\text{Q}$ の位置ベクトルになる．

【参考】

■導出

$3$\displaystyle{ { \text{OR} }\limits^{⟶} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{ ={ \text{OP} }\limits^{⟶}+{ \text{PR} }\limits^{⟶} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ ={ \text{OP} }\limits^{⟶}+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m+n \hspace{2}}{ \text{PQ} }\limits^{⟶} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ ={ \text{OP} }\limits^{⟶}+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m+n \hspace{2}}\left({ { \text{PO} }\limits^{⟶}+{ \text{OQ} }\limits^{⟶} }\right) }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ ={ \text{OP} }\limits^{⟶}+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m+n \hspace{2}}\left({ - { \text{OP} }\limits^{⟶}+{ \text{OQ} }\limits^{⟶} }\right) }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ =\left({ 1- \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m+n \hspace{2}} }\right){ \text{OP} }\limits^{⟶}+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m+n \hspace{2}}{ \text{OQ} }\limits^{⟶} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} m+n \hspace{2}}{ \text{OP} }\limits^{⟶}+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m+n \hspace{2}}{ \text{OQ} }\limits^{⟶} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} m+n \hspace{2}}{p}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m+n \hspace{2}}{q}\limits^{\rightarrow } }$

あるいは，線分 $3$\text{OQ}$ 上に点 $3$\displaystyle{{\text{Q}}^{\prime }}$ を $3$\displaystyle{\text{OP}\text{//}{\text{\hspace{5}Q\hspace{5}}}^{\prime }\text{\hspace{5}R}}$ に成るように，線分 $3$\text{OP}$ 上に点 $3$\displaystyle{{\text{\hspace{5}P}}^{\prime }}$ を $3$\displaystyle{\text{OQ}\text{//}{\text{\hspace{5}P}}^{\prime }\text{\hspace{5}R}}$ に成るようにとると

$3$\displaystyle{ { \text{OR} }\limits^{⟶} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{ ={ { \text{OP} }^{\prime } }\limits^{⟶}+{ { \text{OQ} }^{\prime } }\limits^{⟶} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} m+n \hspace{2}}{p}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2} m+n \hspace{2}}{q}\limits^{\rightarrow } }$

となり，同じ結果になる．（図参照）

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最終更新日 2025年11月25日