内分点

図1

三角形のある頂点の内角の二等分線とその頂点の対辺との交点を，その対辺の内分点という．

具体例を上げて説明する．三角形 $3$\text{ABC}$ の頂点 $3$ \text{A}$ の内角の二等分線と辺 $3$\text{BC}$ との交点を $3$\text{N}$ とする．この交点 $3$\text{M}$ が辺 $3$\text{BC}$ の内分点である。そして

$3$\text{AB}:\text{AC}=\text{BM}:\text{CM}$

の関係がある．

【参考】

■証明1

三角形 $3$\text{ABM}$ の面積を $3$ \hspace{1}{S}_{1}$ ，三角形 $3$\text{ACM}$ の面積を $3$ \hspace{1}{S}_{2}$ する．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{S}_{1}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ \text{AB}\times \text{DM} }\right) }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{S}_{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \text{AC}\times \text{EM} $ }$

$3$\displaystyle{\text{DM}=\text{EM}}$ $3$\displaystyle{${}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet \triangle \text{ADM}\equiv \triangle \text{AEM}$}$

$3${}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \hspace{1}{S}_{1}:\hspace{1}{S}_{2}=\text{AB}:\text{AC}$ ･･････(1)

一方

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{1}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \text{BM}\times \text{AF} $ }$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \text{CM}\times \text{AF} $ }$

$3${}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \hspace{1}{S}_{1}:\hspace{1}{S}_{2}=\text{BM}:\text{CM}$ ･･････(2)

(1)，(2)より

$3$\text{AB}:\text{AC}=\text{BM}:\text{CM}$

備考：ここも参照のこと

■証明2

図2

線分 $3$\text{AM}$ と平行で点 $3$\text{C}$ を通る直線と辺 $3$\text{AB}$ との交点を点 $3$\text{D}$ とする．点 $3$\text{A}$ を通り辺 $3$\text{BC}$ に平行な直線と線分 $3$\text{DC}$ との交点を点 $3$\text{E}$ とする．