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三角形の頂点の二等分線の性質

頂点 $3$\text{A}$ の角の二等分線を $3$\ell$ とし， $3$\text{BC}$ との交点を $3$\text{P}$ （内分点）とすると

$3$\displaystyle{\text{PB}:\text{PC}=\text{AB}:\text{AC}}$

である．

■証明

頂点 $3$\text{B}$ ，頂点Cから二等分線 $3$\ell$ に垂線を下ろし，それぞれの垂線の足を $3$\text{Q}$ ， $3$\text{R}$ とする．

△ $3$\text{ABQ}$ と△ $3$\text{ACR}$ について考える．

$3$\displaystyle{\angle \text{ABQ}=\angle \text{CAR}}$ 　（∵ $3$\text{AP}$ は∠の二等分線）

$3$\displaystyle{\angle \text{AQB}=\angle \text{ARC}=90^\circ }$ 　（∵ $3$\text{Q}$ ， $3$\text{R}$ は垂線の足であるから）

より，２角が等しいので

△ $3$\text{ABQ}$ ∽△ $3$\text{ACR}$

よって

$3$\displaystyle{\text{AB}:\text{AC}=\text{BQ}:\text{CR}}$ 　･･････(1)

次に，△ $3$\text{PQB}$ と△ $3$\text{PRC}$ を考える．

$3$\displaystyle{\angle \text{QPB}=\angle \text{RPC}}$ 　（∵対角）

$3$\displaystyle{\angle \text{PQB}=\angle \text{PRC}=90^\circ }$ 　（∵ $3$\text{Q}$ ， $3$\text{R}$ は垂線の足であるか）

より，２角が等しいので

△ $3$\text{PQB}$ ∽△ $3$\text{PRC}$

よって

$3$\displaystyle{\text{AB}:\text{AC}=\text{PB}:\text{PC}}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$3$\displaystyle{\text{PB}:\text{PC}=\text{AB}:\text{AC}}$

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最終更新日： 2023年10月2日