ベクトルに関する問題

■問題

２つの直線 $3$\displaystyle{y=\hspace{1}{m}_{1}x+\hspace{1}{n}_{1}}$ と $3$\displaystyle{y=\hspace{1}{m}_{2}x+\hspace{1}{n}_{2}}$ （ $3$\hspace{1}{m}_{1}$ ， $3$\hspace{1}{n}_{1}$ ， $3$\hspace{1}{m}_{2}$ ， $3$\hspace{1}{n}_{2}$ は定数）が直交するとき， $3$\hspace{1}{m}_{1}$ ， $3$\hspace{1}{m}_{2}$ の間にどのような関係があるか，方向ベクトルを用いて求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\hspace{1}{m}_{1}\hspace{1}{m}_{2}=- 1}$

■ヒント

ベクトルの直交条件を参考にする．

■解説

直線 $3$\displaystyle{y=\hspace{1}{m}_{1}x+\hspace{1}{n}_{1}}$ は傾きが $3$\hspace{1}{m}_{1}$ より $3$x$ が $3$1$ 増加すると $3$y$ は $3$\hspace{1}{m}_{1}$ 増加する．よって，この直線の方向ベクトル $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{d}_{1} }\limits^{\rightarrow }}$ は

$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{d}_{1} }\limits^{\rightarrow }=\left({ 1,\hspace{1}{m}_{1} }\right)}$ ･･････(1)

となる．

同様にして，直線 $3$\displaystyle{y=\hspace{1}{m}_{2}x+\hspace{1}{n}_{2}}$ の方向ベクトル方向ベクトル $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{d}_{2} }\limits^{\rightarrow }}$ は

$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{d}_{2} }\limits^{\rightarrow }=\left({ 1,\hspace{1}{m}_{2} }\right)}$ ･･････(2)

となる．

2つの直線が直交していることより， $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{d}_{2} }\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{d}_{1} }\limits^{\rightarrow }}$ のなす角は $3$\displaystyle{90^\circ }$ となり

$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{d}_{1} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \hspace{1}{d}_{2} }\limits^{\rightarrow }=0}$ （ベクトルの直交条件を参照）･･････(3)

の関係がある．(3)を(1)，(2)より具体的に計算をすると

$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{d}_{1} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \hspace{1}{d}_{2} }\limits^{\rightarrow }=\left({ 1,\hspace{1}{m}_{1} }\right)\cdot \left({ 1,\hspace{1}{m}_{2} }\right)}$ $3$\displaystyle{=1+\hspace{1}{m}_{1}\hspace{1}{m}_{2}}$ $3$\displaystyle{=0}$ ･･････(4)

となり

$3$\displaystyle{\hspace{1}{m}_{1}\hspace{1}{m}_{2}=- 1}$

の関係が得られる．

参考：2直線が垂直に交わる条件

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最終更新日： 2025年7月16日