2直線が垂直に交わる条件

2つの直線の傾きを ， とすると，垂直に交わる(直交する)ための条件は

である．

参考ページ：2直線のなす角

■証明

 とする．2つの直線の交点を ，交点 の右側に  軸に平行な直線を引き，傾きが の直線との交点を ，傾きが の直線との交点を とする．交点Xを通り，  軸に平行な直線を引き，直線 との交点を とする．以上のように，点 ， ， ， をとると△ ，△ は直角三角形になる．

直線の傾きの定義より

 ･･････(1)

 ･･････(2)

△XRPが直角三角形より，三平方の定理が成り立つので

   (∵(1))

 ･･････(3)

△ が直角三角形より，三平方の定理が成り立つので

    (∵(2))

 ･･････(4)

2つの直線が垂直に交わると， となり△ は直角三角形になる．よって，三平方の定理より

    (∵(3)，(4))

    (∵(1)，(2))

2直線が垂直に交わると，である．

一方，  ならば

    (∵(1)，(2)，(3)，(4))

よって

となり，△ において三平方の定理がなりたち，△ は直角三角形である．よって

すなわち，2直線は垂直に交わる．

以上より，証明された．

 

ホーム>>カテゴリー別分類>>幾何>>2直線が垂直に交わる条件

最終更新日 2025年4月25日