ベクトルのなす角の計算

■問題

空間ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=$4,1,1$}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=$1,4,1$}$ のなす角を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ {\theta}={60}^{\circ } }$

■ヒント

$3$\displaystyle{a\cdot b= \|a\| \|b\| \cos {\theta}}$

内積の定義を利用する．

■解説

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{v}\limits^{\rightarrow }}$ のなす角を $3$\displaystyle{{\theta}}$ とすると

$3$\displaystyle{ \cos \text{{\theta}}=\frac{\hspace{2} {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{a}\right|\left|{b}\right| \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 4\times 1+1\times 4+1\times 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {4}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2} }\times \sqrt{ {1}^{2}+{4}^{2}+{1}^{2} } \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 18 }\times \sqrt{ 18 } \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2} 18 \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{{\text{0}}^{\circ }\leq {\theta}\leq {180}^{\circ }}$ であるから，

$3$\displaystyle{ {\theta}={60}^{\circ } }$

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年4月18日