直交するベクトルを求める問題

■問題

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ 3,1 $ }$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ 1,2 $ }$ とするとき， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }+t{a}\limits^{\rightarrow }}$ が直交するような $3$\displaystyle{t}$ を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ t=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

■ヒント

直交することより，内積が $3$\displaystyle{0}$ である．すなわち

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot $ {b}\limits^{\rightarrow }+t{a}\limits^{\rightarrow } $ =0}$

となるような $3$\displaystyle{t}$ を求める．　

■解説

$3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }+t{a}\limits^{\rightarrow }= $ 1,2 $ +t $ 3,1 $ = $ 1+3t,2+t $ }$

よって

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\cdot \left({ {b}\limits^{\rightarrow }+t{a}\limits^{\rightarrow } }\right) }$ $3$\displaystyle{ =\left({ 3,1 }\right)\cdot \left({ 1+3t,2+t }\right) }$

$3$\displaystyle{ =3\times \left({ 1+3t }\right)+1\times \left({ 2+t }\right) }$

$3$\displaystyle{ =5+10t }$

となる．したがって

$3$\displaystyle{ 5+10t=0 }$

$3$\displaystyle{ t=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

図の緑色のベクトルが $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{a}\limits^{\rightarrow } }$ である．

■インターラクティブなグラフ

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年7月16日