外積の計算

■問題

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= $ 4,3,1 $ }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= $ 2,- 1,1 $ }$ のベクトルの外積 $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } }$ を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow }= $ 4,- 2,- 10 $ }$

■ヒント

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{x}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{y}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{z} $ }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{x}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{b}_{y}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{b}_{z} $ }$ のとき

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ = $ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} $ }$ (外積の成分表示を参照)

となる．

■解説

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y}=3\times 1- 1\times $ - 1 $ =4 }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z}=1\times 2- 4\times 1=- 2 }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x}=4\times $ - 1 $ - 3\times 2=- 10 }$

よって，求めるベクトルの外積は

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow }= $ 4,- 2,- 10 $ }$

となる．

■3Dグラフ

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最終更新日： 2025年4月18日