ベクトルのなす角の計算

■問題

平面ベクトル $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= $ 1,2 $ }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= $ 3,1 $ }$ のなす角を求めよ．

■解説動画

◇ベクトルの動画一覧のページへ

■答

$3$\displaystyle{45^\circ }$

■ヒント

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ のなす角を $3$\displaystyle{{\theta}}$ としたとき

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }= \|{a}\limits^{\rightarrow }\| \|{b}\limits^{\rightarrow }\| \cos {\theta}}$

内積の定義を利用する．

■解説

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ のなす角を $3$\displaystyle{{\theta}}$ とすると

$3$\displaystyle{ \cos {\theta}=\frac{\hspace{2} {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right| \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 1\times 3+2\times 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {1}^{2}+{2}^{2} }\cdot \sqrt{ {3}^{2}+{1}^{2} } \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 50 } \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 5\sqrt{2} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{{\text{0}}^{\circ }\leq {\theta}\leq {180}^{\circ }}$ であるから

$3$\displaystyle{{\theta}={45}^{\circ }}$

ホーム>>カテゴリー分類>>ベクトル>>ベクトルに関する問題>>ベクトルのなす角の計算

学生スタッフ
最終更新日： 2025年7月16日