垂直な単位ベクトルを求める問題

■問題

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=$- 4,3$}$ に垂直な単位ベクトルを求めよ．

■答

$3$\displaystyle{ \pm $ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}},\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ }$

■ヒント

ベクトル $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow } }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow } }$ が垂直ならば，なす角が90°なので

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }= \|{a}\limits^{\rightarrow }\| \|{b}\limits^{\rightarrow }\| \cos 90^\circ =0 }$

となる．

また

垂直な単位ベクトルは互いに逆向きの2つのベクトルになる．

■解説

求める単位ベクトルを $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ m,n $ }$ とする．大きさは $3$\displaystyle{1}$ なので

$3$\displaystyle{ \sqrt{ {m}^{2}+{n}^{2} }=1 }$

$3$\displaystyle{ {m}^{2}+{n}^{2}=1 }$ 　･･････(1)

また

$3$\displaystyle{ { a\cdot }\limits^{\rightarrow }{b}\limits^{\rightarrow }=- 4m+3n=0 }$

$3$\displaystyle{ m=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}n }$ 　･･････(2)

(2)を(1)に代入すると

$3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}n $ }^{2}+{n}^{2}=1}$

$3$\displaystyle{{n}^{2}=\frac{\hspace{2} 16 \hspace{2}}{\hspace{2} 25 \hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{n=\pm \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{m=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot $ \pm \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ =\pm \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$

以上より

$3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= \pm $ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}},\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ }$

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年7月16日