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直交するベクトルを求める

■問題

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= \( 5,0 \) }$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }= \( t- 6,{t}^{2} \) }$ とするとき， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ が直交するような $3$\displaystyle{t}$ を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ t=6 }$

■ヒント

直交することより，内積が $3$\displaystyle{0}$ である．すなわち

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {c}\limits^{\rightarrow }=0}$

となるような $3$t$ を求める．　

■解説

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {c}\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ =\left({ 5,0 }\right)\cdot \left({ t- 6,{t}^{2} }\right) }$

$3$\displaystyle{ =5\times \left({ t- 6 }\right)+0\times {t}^{2} }$

$3$\displaystyle{ =5t- 30 }$

なので

$3$\displaystyle{ 5t- 30=0 }$

$3$\displaystyle{ t=6 }$

■参考

$3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ の始点が原点のとき， $3$t$ が変化したときの終点の軌跡を求める．

$3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }=\left({ t- 6,{t}^{2} }\right)=\left({ x,y }\right)}$

とおくと

$3$\displaystyle{x=t- 6}$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{y={t}^{2}}$ 　･･････(2)

となる．(1)，(2)より媒介変数の $3$t$ を消去する．(1)より

$3$\displaystyle{t=x+6}$ 　･･････(3)

(3)を(2)に代入する．

$3$\displaystyle{y={\left({ x+6 }\right)}^{2}}$ 　･･････(4)

(4)より，軌跡は頂点が $3$\displaystyle{\left({ - 6,0 }\right)}$ の下に凸の放物線である．

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2026年1月23日