ベクトルに関する問題

■問題

三角形 $3$\text{ABC}$ の辺 $3$\text{BC}$ の中点を $3$\text{M}$ とすると

$3$ { \text{AB} }^{\text{2}}+{ \text{AC} }^{\text{2}}=2 $ { \text{AM} }^{\text{2}}+{ \text{BM} }^{\text{2}} $$

が成り立つ(中線定理)ことを，ベクトルを用いて証明せよ．

■ヒント

以下の関係を参考にするとよい．

$3$\displaystyle{ { \text{AB} }^{2}={ \left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right| }^{2}={ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }$

■答

$3$\displaystyle{{\text{AM}}^{2}={\left|{ { \text{AM} }\limits^{\rightarrow } }\right|}^{2}}$

$3$\displaystyle{={ \text{AM} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AM} }\limits^{\rightarrow }}$

点 $3$M$ は辺 $3$BC$ の中点であることより，辺 $3$BC$ を $3$\displaystyle{1:1}$ に内分する．よって

$3$\displaystyle{{ \text{AM} }\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right)\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left({ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right)\cdot \left({ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left{{ \left({ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right)\cdot { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }+\left({ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right)\cdot { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left({ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left{{ { \left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right| }^{2}+2\left({ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right)+{ \left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right| }^{2} }\right}}$

$3$\displaystyle{{\text{BM}}^{2}={\left|{ { \text{BM} }\limits^{\rightarrow } }\right|}^{2}}$

$3$\displaystyle{{ \text{BM} }\limits^{\rightarrow }={ \text{BA} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{AM} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=- { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right)\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left({ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right)\cdot \left({ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left{{ \left({ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right)\cdot { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }- \left({ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right)\cdot { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left({ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left{{ { \left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right| }^{2}- 2\left({ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right)+{ \left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right| }^{2} }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left{{ { \text{AC} }^{2}- 2\left({ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right)+{ \text{AB} }^{2} }\right}}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$3$\displaystyle{{\text{AM}}^{2}+{\text{BM}}^{2}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left{{ { \text{AB} }^{2}+2\left({ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right)+{ \text{AC} }^{2} }\right}}$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left{{ { \text{AC} }^{2}- 2\left({ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right)+{ \text{AB} }^{2} }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ { \text{AB} }^{2}+{ \text{AC} }^{2} }\right)}$

したがって

$3$ { \text{AB} }^{\text{2}}+{ \text{AC} }^{\text{2}}=2 $ { \text{AM} }^{\text{2}}+{ \text{BM} }^{\text{2}} $$

が得られる．

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最終更新日： 2024年12月3日