ベクトルに関する問題

■問題

三角形 $3$\text{ABC}$ の各頂点 $3$\text{A}$ ， $3$\text{B}$ ， $3$\text{C}$ と各対辺の中点のを結ぶ3つの線分(中線)は1点で交わることを示せ．

■ヒント

線分 $3$\text{BC}$ の中点を $3${\text{A}}^{\prime }$ ， $3$\text{AC}$ の中点を $3${\text{B}}^{\prime }$ ， $3$\text{AB}$ の中点を $3${\text{C}}^{\prime }$ とすると， 3つの中線は線分 $3$\text{A}{\text{A}}^{\prime }$ ，線分 $3$\text{B}{\text{B}}^{\prime }$ ，線分 $3$\text{C}{\text{C}}^{\prime }$ である．線分 $3$\text{A}{\text{A}}^{\prime }$ と線分 $3$\text{B}{\text{B}}^{\prime }$ の交点を点 $3$\text{P}$ ，線分 $3$\text{A}{\text{A}}^{\prime }$ と線分 $3$\text{C}{\text{C}}^{\prime }$ の交点を点 $3$\text{Q}$ ，線分 $3$\text{B}{\text{B}}^{\prime }$ と線分 $3$\text{C}{\text{C}}^{\prime }$ の交点を点 $3$\text{R}$ とする．証明は，点 $3$\text{P}$ ，点 $3$\text{Q}$ ，点 $3$\text{R}$ が一致することを示せばよい．

■答

三角形 $3$\text{ABC}$ の角頂点 $3$\text{A}$ ， $3$\text{B}$ ， $3$\text{C}$ の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ とし．位置ベクトルの始点を点 $3$\text{O}$ とする．

●点 $3$\text{P}$ を位置ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ で表す

点 $3$\text{P}$ は中線 $3$\text{A}{\text{A}}^{\prime }$ 上にあることより

$3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{A}\text{P} }\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{={ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+s{ \text{A}{\text{A}}^{\prime } }\limits^{\rightarrow }}$ （ $3$s$ は定数）

$3$\displaystyle{={ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+s\left({ { \text{AO} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{O}{\text{A}}^{\prime } }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

$3$\displaystyle{={ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+s\left({ - { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{O}{\text{A}}^{\prime } }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

点 $3${\text{A}}^{\prime }$ は線分 $3$\text{BC}$ の中点，すなわち，線分 $3$\text{BC}$ を $3$\displaystyle{1:1}$ に内分する点であるので

$3$\displaystyle{{ \text{O}{\text{A}}^{\prime } }\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ {b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)}$

となる

$3$\displaystyle{={a}\limits^{\rightarrow }+s\left{{ - {a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ {b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=\left({ 1- s }\right){a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}s{b}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}s{c}\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(1)

点 $3$\text{P}$ は中線 $3$\text{B}{\text{B}}^{\prime }$ 上でもあることより

$3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{B}\text{P} }\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{={ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }+t{ \text{B}{\text{B}}^{\prime } }\limits^{\rightarrow }}$ （ $3$t$ は定数）

$3$\displaystyle{={ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+t\left({ { \text{BO} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{O}{\text{B}}^{\prime } }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

$3$\displaystyle{={ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }+t\left({ - { \text{OB} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{O}{\text{B}}^{\prime } }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

点 $3${\text{B}}^{\prime }$ は線分 $3$\text{AC}$ の中点，すなわち，線分 $3$\text{AC}$ を $3$\displaystyle{1:1}$ に内分する点であるので

$3$\displaystyle{{ \text{O}{\text{B}}^{\prime } }\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ {a}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)}$

となる

$3$\displaystyle{={b}\limits^{\rightarrow }+s\left{{ - {b}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ {a}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{\displaystyle{=\left({ 1- s }\right){a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}s{b}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}s{c}\limits^{\rightarrow }}}$ ･･････(2)

(1)，(2)より

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll} 1- s =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}t\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $3$& \vspace{6}\\ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}s= 1- t \text{\hspace{5}}\cdots \cdots $4$& \vspace{6}\\ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}s=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}t\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $5$& \vspace{6}\\ \end{array}}$

となる連立方程式が得られる．

(5)より

$3$ s=t$ ･･････(6)

(6)を(3)に代入する．

$3$\displaystyle{1- t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}t}$

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}t=- 1}$

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ ･･････(7)

(6)を(4)に代入する．

$3$\displaystyle{1- s=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}s}$

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}s=- 1}$

$3$\displaystyle{s=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ ･･････(8)

(7)，(8)は(6)を満たしている．以上より連立方程式の解は

$3$\displaystyle{s=t=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ ･･････(9)

となる．

(9)を(1)に代入すると

$3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ 1- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right){a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{b}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{c}\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ ･･････(10)

●点 $3$\text{Q}$ を位置ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ で表す

$3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }}$ と同様にして $3$\displaystyle{{ \text{OQ} }\limits^{\rightarrow }}$ を位置ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ を用いて表すと

$3$\displaystyle{{ \text{OQ} }\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ ･･････(11)

となる．

●点 $3$\text{R}$ を位置ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ で表す

$3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }}$ と同様にして $3$\displaystyle{{ \text{OR} }\limits^{\rightarrow }}$ を位置ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ を用いて表すと

$3$\displaystyle{{ \text{OR} }\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ ･･････(12)

となる．

●(10)，(11)，(12)より

$3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OQ} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OR} }\limits^{\rightarrow }}$

となり，三角形 $3$\text{ABC}$ の各頂点 $3$\text{A}$ ， $3$\text{B}$ ， $3$\text{C}$ と各対辺の中点のを結ぶ3つの線分(中線)は1点で交わる．

この交点のことを重心といい，(9)の $3$\displaystyle{s=t=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ より

$3$\displaystyle{{ \text{AP} }\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \text{A}{\text{A}}^{\prime } }\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{BQ} }\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \text{B}{\text{B}}^{\prime } }\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{CR} }\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \text{C}{\text{C}}^{\prime } }\limits^{\rightarrow }}$

よって，重心は中線を $3$\displaystyle{2:1}$ に内分する．

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最終更新日： 2025年10月31日

ベクトルに関する問題

■問題

■ヒント

■答

●点 を位置ベクトル ， ， で表す

●点 を位置ベクトル ， ， で表す

●点 を位置ベクトル ， ， で表す

●(10)，(11)，(12)より

●点 $3$\text{P}$ を位置ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ で表す

●点 $3$\text{Q}$ を位置ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ で表す

●点 $3$\text{R}$ を位置ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ で表す