内積の計算

■問題

空間ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=$1,1,\sqrt{2}$}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=$1,2,\sqrt{3}$}$ のなす角を $3$\displaystyle{{\theta}}$ するとき， $3$\displaystyle{\cos {\theta}}$ 求めよ．

■答

$3$\displaystyle{ \cos {\theta}=\frac{\hspace{2} 3+\sqrt{6} \hspace{2}}{\hspace{2} 4\sqrt{2} \hspace{2}} }$

■ヒント

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }=\left|{a}\right|\left|{b}\right|\cos {\theta}}$

内積の定義を利用する．

■解説

$3$\displaystyle{ \cos \text{{\theta}}=\frac{\hspace{2} {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{a}\right|\left|{b}\right| \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 1\times 1+1\times 2+\sqrt{2}\times \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {1}^{2}+{1}^{2}+{ \left({ \sqrt{2} }\right) }^{2} }\times \sqrt{ {1}^{2}+{2}^{2}+{ \left({ \sqrt{3} }\right) }^{2} } \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 3+\sqrt{6} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{4}\times \sqrt{8} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 3+\sqrt{6} \hspace{2}}{\hspace{2} 4\sqrt{2} \hspace{2}} }$

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月16日