外積の計算

■問題

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= $ 4,1,3 $ }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= $ 1,2,1 $ }$ ， $3$\displaystyle{ {c}\limits^{\rightarrow }= $ 2,- 1,2 $ }$ の外積 $3$\displaystyle{ $ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } $ \times {c}\limits^{\rightarrow }}$ を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ $ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } $ \times {c}\limits^{\rightarrow }=$5,24,7$}$

■ヒント

$3$\displaystyle{ $ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } $ }$ の部分から計算する．

■解説

$3$\displaystyle{ $ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } $ }$ を計算すると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{y}\times \hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\times \hspace{1}{b}_{y}=1\times 1- 3\times 2=- 5}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{z}\times \hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\times \hspace{1}{b}_{z}=3\times 1- 4\times 1=-1}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{x}\times \hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\times \hspace{1}{b}_{x}=4\times 2- 1\times 1=7}$

よって

$3$\displaystyle{ $ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } $ =$- 5,-1,7$}$

となり，求める外積成分は

$3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{a}_{y}\times \hspace{1}{b}_{y} $ \times \hspace{1}{c}_{z}- $ \hspace{1}{a}_{z}\times \hspace{1}{b}_{z} $ \times \hspace{1}{c}_{y}}$ $3$\displaystyle{=$-1$\times 2- 7\times $ - 1 $ =5}$

$3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{a}_{z}\times \hspace{1}{b}_{z} $ \times \hspace{1}{c}_{x}- $ \hspace{1}{a}_{x}\times \hspace{1}{b}_{x} $ \times \hspace{1}{c}_{z}}$ $3$\displaystyle{=7\times 2- $ - 5 $ \times 2=24}$

$3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{a}_{x}\times \hspace{1}{b}_{x} $ \times \hspace{1}{c}_{y}- $ \hspace{1}{a}_{y}\times \hspace{1}{b}_{y} $ \times \hspace{1}{c}_{x}}$ $3$\displaystyle{= $ - 5 $ \times $ - 1 $ - $-1$\times 2=7}$

よって，求める外積は

$3$\displaystyle{ $ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } $ \times {c}\limits^{\rightarrow }=$5,24,7$}$ ･･････(1)

となる．

●参考

$3$\displaystyle{ \displaystyle{\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times \left({ {b}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow } }\right)}}=$ - 5,35,- 5 $ }$ （計算はここを参照）　･･････(2)

(1)，(3)より外積では結合法則は成り立たないことが分かる．

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年4月18日