ベクトルの計算問題

■問題

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }=\left({ 1,3 }\right) }$ をベクトルの始点を中心として反時計回りに60°回転したベクトルを求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2} 1- 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2} 3+\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$

■ヒント

回転しただけなので，ベクトルの大きさは変化しない．
求めるベクトルと $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ のなす角は60°である．

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■解説

求めるベクトルを $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\left({ x,y }\right)}$ とする．

$3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ は $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ を回転しただけである．よって

$3$\displaystyle{\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|=\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ {1}^{2}+{3}^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ 10 }}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{\sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} }=\sqrt{ 10 }}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}+{y}^{2}=10}$ ･･････(2)

となる．

また，問題文に書かれているより， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ のなす角は60°である．よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right| \hspace{2}}=\cos 60^\circ }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \left({ 1,3 }\right)\cdot \left({ x,y }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 10 }\sqrt{ 10 } \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ （∵(1)）

$3$\displaystyle{x+3y=5}$

$3$\displaystyle{x=5- 3y}$ ･･････(3)

(3)を(2)に代入する

$3$\displaystyle{{\left({ 5- 3y }\right)}^{2}+{y}^{2}=10}$

$3$\displaystyle{25- 30y+9{y}^{2}+{y}^{2}=10}$

$3$\displaystyle{10{y}^{2}- 30y+15=0}$

$3$\displaystyle{2{y}^{2}- 6y+3=0}$

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} 3\pm \sqrt{ { \left({ - 3 }\right) }^{2}- 2\cdot 3 } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 3\pm \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ･･････(4)

(4)を(3)に代入する．

$3$\displaystyle{x=5- 3\left({ \frac{\hspace{2} 3\pm \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2} 10- 9\mp 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 1\mp 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ･･････(5)

(4)と(5)より

$3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)=\left({ \frac{\hspace{2} 1- 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2} 3+\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$ $3$\displaystyle{,\left({ \frac{\hspace{2} 1+3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2} 3- \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$

が得られる． $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ の始点が原点にあるとすると，時計回りに60°回転したベクトルは $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と重なる直線 $3$\displaystyle{y=3x}$ より上側( $3$x$ の正方向側)にある，

$3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2} 1- 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2} 3+\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$ 場合

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 3+\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 3\left({ \frac{\hspace{2} 1- 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 3+\sqrt{3}- 3+9\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=5\sqrt{3}> 0}$

となり，直線より上にある．

$3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2} 1+3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2} 3- \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$ の場合

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 3- \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 3\left({ \frac{\hspace{2} 1+3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 3- \sqrt{3}- 3- 9\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- 5\sqrt{3}< 0}$

となり，直線より下にある．

以上より

$3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\left({ \frac{\hspace{2} 1- 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2} 3+\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$

となる．

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最終更新日： 2025年10月9日