不等式と領域

■1次関数と不等式

不等式 $3$\displaystyle{y> ax+b}$ を満たす点 $3$\displaystyle{$x,y$}$ の集合の領域は， $3$\displaystyle{xy}$ 座標平面に描かれた直線 $3$\displaystyle{y=ax+b}$ より $3$y$ の値が大きくなっている領域(直線より上の領域)になる（図の黄色の領域）．

不等式 $3$\displaystyle{y< ax+b}$ を満たす点 $3$\displaystyle{$x,y$}$ の集合の領域は， $3$\displaystyle{xy}$ 座標平面に描かれた直線 $3$\displaystyle{y=ax+b}$ より $3$y$ の値が小さくなっている領域(直線より下の領域)になる（図の青色の領域）．

■ $3$f\left({x}\right)$ と不等式

不等式 $3$\displaystyle{y> f\left({x}\right)}$ を満たす点 $3$\displaystyle{$x,y$}$ の集合の領域は， $3$\displaystyle{xy}$ 座標平面に描かれた曲線 $3$\displaystyle{y=f\left({x}\right)}$ より $3$y$ の値が大きくなっている領域(曲線より上の領域)になる（図の黄色の領域）．

不等式 $3$\displaystyle{y< f\left({x}\right)}$ を満たす点 $3$\displaystyle{$x,y$}$ の集合の領域は， $3$\displaystyle{xy}$ 座標平面に描かれた曲線 $3$\displaystyle{y=f\left({x}\right)}$ より $3$y$ の値が小さくなっている領域(曲線より下の領域)になる（図の青色の領域）．

■円と不等式

不等式 $3$\displaystyle{{x}^{2}+{y}^{2}> {r}^{2}}$ を満たす点 $3$\displaystyle{$x,y$}$ の集合の領域は， $3$\displaystyle{xy}$ 座標平面に描かれた円 $3$\displaystyle{{x}^{2}+{y}^{2}={r}^{2}}$ より外側の領域になる（図の黄色の領域）．

不等式 $3$\displaystyle{{x}^{2}+{y}^{2}< {r}^{2}}$ を満たす点 $3$\displaystyle{$x,y$}$ の集合の領域は， $3$\displaystyle{xy}$ 座標平面に描かれた円 $3$\displaystyle{{x}^{2}+{y}^{2}={r}^{2}}$ より内側の領域になる（図の青色の領域）．

■一般化

上記で取り扱った不等式を以下のように書き変える．

$3$\displaystyle{y> ax+b}$ 　⇒　 $3$\displaystyle{y- \left({ ax+b }\right)> 0}$

$3$\displaystyle{y< ax+b}$ 　⇒　 $3$\displaystyle{y- \left({ ax+b }\right)< 0}$

$3$\displaystyle{y> f\left({x}\right)}$ 　⇒　 $3$\displaystyle{y- f\left({x}\right)> 0}$

$3$\displaystyle{y< f\left({x}\right)}$ 　⇒　 $3$\displaystyle{y- f\left({x}\right)< 0}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}+{y}^{2}> {r}^{2}}$ 　⇒　 $3$\displaystyle{{x}^{2}+{y}^{2}- {r}^{2}> 0}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}+{y}^{2}< {r}^{2}}$ 　⇒　 $3$\displaystyle{{x}^{2}+{y}^{2}- {r}^{2}< 0}$

不等式の左辺の関数を一般化すると $3$x$ と $3$y$ の2変数関数 $3$\displaystyle{f\left({ x,y }\right)}$ を用いて表現することができきる．

$3$\displaystyle{f\left({ x,y }\right)=0}$ で表される陰関数の曲線が領域の境界線となり

不等式 $3$\displaystyle{f\left({ x,y }\right)> 0}$ を満たす点 $3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)}$ の集合の領域を $3$\displaystyle{f\left({ x,y }\right)}$ の正領域

不等式 $3$\displaystyle{f\left({ x,y }\right)< 0}$ を満たす点 $3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)}$ の集合の領域を $3$\displaystyle{f\left({ x,y }\right)}$ の負領域

という．

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最終更新日： 2024年6月20日

不等式と領域

■1次関数と不等式

■と不等式

■円と不等式

■一般化

■ $3$f\left({x}\right)$ と不等式