ベクトルの計算問題

■問題

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }=\left({ 1,3 }\right) }$ をベクトルの始点を中心として反時計回りに60°回転したベクトルを求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2} 1- 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2} 3+\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$

■ヒント

基本ベクトル表示を用い，その基本ベクトルを反時計方向に60°回転させる．

■別解の解説

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ を基本ベクトル $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }=\left({ 1,0 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }=\left({ 0,1 }\right)}$ を用いて表すと

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }={ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }+3{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(1)

となる．

$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }}$ を原点を中心に反時計周りに60°回転させたベクトルを $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{1}{ }^{\prime } }\limits^{\rightarrow }}$ とすると(ここを参照)

$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{1}{ }^{\prime } }\limits^{\rightarrow }=\left({ \cos 60^\circ ,\sin 60^\circ }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }}$ 　･･････(2)

$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }}$ を原点を中心に反時計周りに60°回転させたベクトルを $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{2}{ }^{\prime } }\limits^{\rightarrow }}$ とすると

$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{2}{ }^{\prime } }\limits^{\rightarrow }=\left({ - \sin 60^\circ ,\cos 60^\circ }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ - \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }}$ 　･･････(3)

となる．

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ を原点を中心に反時計周りに60°回転させたベクトルを $3$\displaystyle{{{a}^{\prime }}\limits^{\rightarrow }}$ とする．

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }}$ の3つのベクトルの相対関係と $3$\displaystyle{{{a}^{\prime }}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{1}{ }^{\prime } }\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{2}{ }^{\prime } }\limits^{\rightarrow }}$ の3つのベクトルの相対関係は等しい．よって，(1)より

$3$\displaystyle{{{a}^{\prime }}\limits^{\rightarrow }={ \hspace{1}{e}_{1}{ }^{\prime } }\limits^{\rightarrow }+3{ \hspace{1}{e}_{1}{ }^{\prime } }\limits^{\rightarrow }}$ 　･･････(4)

が得られる．

$3$\displaystyle{{{a}^{\prime }}\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }+3\left({ - \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 1- 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2} 3+\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{=\left({ \frac{\hspace{2} 1- 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2} 3+\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$

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最終更新日： 2025年10月9日