三角形の面積を求める問題

■問題

原点と空間上の２点 $3$\text{A}\left({ 4,3,1 }\right)$ ， $3$\text{B}\left({ 2,1,2 }\right)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 65 }}$

■ヒント

三角形の面積： $3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ { \| { \text{AB} }\limits^{\longrightarrow } \| }^{2}\cdot { \| { \text{AC} }\limits^{\longrightarrow } \| }^{2}- { $ { \text{AB} }\limits^{\longrightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\longrightarrow } $ }^{2} }}$ を用いる．この公式を覚えていない場合は，三角形の面積 $3$=\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ×底辺の長さ×高さ，から計算をする．

外積の定義を参考にする．

■解説

●ベクトルの内積を用いた計算

三角形 $3$OAB$ の面積を $3$S$ とすると

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ { \| { \text{OA} }\limits^{⟶} \| }^{2}·{ \| { \text{OB} }\limits^{⟶} \| }^{2}- { $ { \text{OA} }\limits^{⟶}·{ \text{OB} }\limits^{⟶} $ }^{2} }}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

この式の内容は三角形の面積に詳しく書いてある

となる．

$3$\displaystyle{ { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }=\left({ 4,3,1 }\right) }$

$3$\displaystyle{ { \text{OB} }\limits^{\rightarrow }=\left({ 2,1,2 }\right) }$

であることより

$3$\displaystyle{{\left|{ { \text{OA} }\limits^{\rightarrow } }\right|}^{2}={4}^{2}+{3}^{2}+{1}^{2}}$ $3$\displaystyle{=16+9+1}$ $3$\displaystyle{=26}$

$3$\displaystyle{{\left|{ { \text{OB} }\limits^{\rightarrow } }\right|}^{2}={2}^{2}+{1}^{2}+{2}^{2}}$ $3$\displaystyle{=4+1+4}$ $3$\displaystyle{=9}$

$3$\displaystyle{{ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{OB} }\limits^{\rightarrow }=\left({ 4,3,1 }\right)\cdot \left({ 2,1,2 }\right)}$ $3$\displaystyle{=4\cdot 2+3\cdot 1+1\cdot 2}$ $3$\displaystyle{=8+3+2}$ $3$\displaystyle{=13}$

となる．よって

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 26\cdot 9- { 13 }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 13\left({ 18- 13 }\right) }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 65 }}$

◇三角形の面積 $3$=\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ×底辺の長さ×高さからの計算

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left|{ { \text{OA} }\limits^{\rightarrow } }\right|\left|{ { \text{BH} }\limits^{\rightarrow } }\right|}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left|{ { \text{OA} }\limits^{\rightarrow } }\right|\left({ \left|{ { \text{OB} }\limits^{\rightarrow } }\right|\sin {\theta} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left|{ { \text{OA} }\limits^{\rightarrow } }\right|\left|{ { \text{OB} }\limits^{\rightarrow } }\right|\sqrt{ 1- { \cos }^{2}{\theta} }}$

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=\frac{\hspace{2} { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{OB} }\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{ { \text{OA} }\limits^{\rightarrow } }\right|\left|{ { \text{OB} }\limits^{\rightarrow } }\right| \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 13 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 26 }\cdot \text{3} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 13 \hspace{2}}{\hspace{2} \text{3}\sqrt{ 26 } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 26 }\cdot 3\left({ \sqrt{ 1- { \left({ \frac{\hspace{2} 13 \hspace{2}}{\hspace{2} \text{3}\sqrt{ 26 } \hspace{2}} }\right) }^{2} } }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ { \left({ \text{3}\sqrt{ 26 } }\right) }^{2}- { 13 }^{2} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 65 }}$

★別解

$3$\displaystyle{{ \text{BH} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OH} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OB} }\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{{ \text{OH} }\limits^{\rightarrow }=t{ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }}$ とおくと

$3$\displaystyle{{ \text{BH} }\limits^{\rightarrow }=t{ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OB} }\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{\text{OA}⊥\text{BH}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
より

$3$\displaystyle{{ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{BH} }\limits^{\rightarrow }=0}$

$3$\displaystyle{{ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }\cdot \left({ t{ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OB} }\limits^{\rightarrow } }\right)=0}$

$3$\displaystyle{t{ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{OB} }\limits^{\rightarrow }=0}$

$3$\displaystyle{t{\left|{ { \text{OA} }\limits^{\rightarrow } }\right|}^{2}={ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{OB} }\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2} { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{OB} }\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} { \left|{ { \text{OA} }\limits^{\rightarrow } }\right| }^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 13 \hspace{2}}{\hspace{2} 26 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{{ \text{BH} }\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 4,3,1 }\right)- \left({ 2,1,2 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ 0,\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{\left|{ { \text{BH} }\limits^{\rightarrow } }\right|=\sqrt{ { \left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) }^{2}+{ \left({ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 10 }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 65 }}$

以上より

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 26 }\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 10 }}$

●ベクトルの外積を用いた計算

外積 $3$\displaystyle{{ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{OB} }\limits^{\rightarrow }}$ の大きさ $3$\displaystyle{\left|{ { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{OB} }\limits^{\rightarrow } }\right|}$ は， $3$\displaystyle{ { \text{OA} }\limits^{\rightarrow } }$ と $3$\displaystyle{ { \text{OB} }\limits^{\rightarrow } }$ を2辺とする平行四辺形の面積になる(外積の定義を参照)．よって，三角形 $3$OAB$ の面積 $3$S$ は

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left|{ { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{OB} }\limits^{\rightarrow } }\right|}$

となる．

$3$\displaystyle{{ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{OB} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ 4,3,1 }\right)\times \left({ 2,1,2 }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ 3\cdot 2- 1\cdot 1,1\cdot 2- 4\cdot 2,4\cdot 1- 3\cdot 2 }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ 5,- 6,- 2 }\right)}$

よって

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ {5}^{2}+{ \left({ - 6 }\right) }^{2}+{ \left({ - 2 }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 25+36+4 }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 65 }}$