ベクトルを用いて重心を求める問題

■問題

三角形 $3$\text{ABC}$ の頂点 $3$\text{A}$ ， $3$\text{B}$ ， $3$\text{C}$ の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ とする．この三角形 $3$\text{ABC}$ の重心 $3$\text{G}$ の位置を $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ を用いて表せ．

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)}$

■ヒント

三角形の各頂点と重心の位置関係を確認する．

■解説

重心 $3$\text{G}$ は線分 $3$\text{A\hspace{5}}{\text{A\hspace{5}}}^{\prime }$ を $3$\displaystyle{2:1}$ に内分する点である.よって

$3$\displaystyle{{ \text{OG} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \text{A}{\text{A}}^{\prime } }\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{={ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ { \text{AO} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{O}{\text{A}}^{\prime } }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

$3$\displaystyle{={ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ - { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{O}{\text{A}}^{\prime } }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

点 $3${\text{A}}^{\prime }$ は線分 $3$\text{BC}$ の中点，すなわち，線分 $3$\text{BC}$ を $3$\displaystyle{1:1}$ に内分する点であるので

$3$\displaystyle{{ \text{O}{\text{A}}^{\prime } }\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ {b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)}$

となる

$3$\displaystyle{={a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left{{ - {a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ {b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{={a}\limits^{\rightarrow }- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{b}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{c}\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{b}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{c}\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)}$

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最終更新日： 2025年7月16日