ベクトルの計算問題

■問題

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ 3,1 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\left({ - 2,3 }\right)}$ のとき， $3$\displaystyle{2{a}\limits^{\rightarrow }- {b}\limits^{\rightarrow }}$ を求めよ．また， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }=\left({ - 13,3 }\right)}$ を $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ を用いて表せ．

■答

$3$\displaystyle{2{a}\limits^{\rightarrow }- {b}\limits^{\rightarrow }=\left({ 8,- 1 }\right)}$

$3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }=- 3{a}\limits^{\rightarrow }+2{b}\limits^{\rightarrow }}$

■ヒント

ベクトルの定数倍，ベクトルの差，ベクトルの和を参照

■解説

$3$\displaystyle{2{a}\limits^{\rightarrow }- {b}\limits^{\rightarrow }=2\left({ 3,1 }\right)- \left({ - 2,3 }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ 2\cdot 3,2\cdot 1 }\right)- \left({ - 2,3 }\right)}$ （ベクトルの定数倍を参照）

$3$\displaystyle{=\left({ 6,2 }\right)- \left({ - 2,3 }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ 6- \left({ - 2 }\right),2- 3 }\right)}$ 　（ベクトルの差を参照）

$3$\displaystyle{=\left({ 8,- 1 }\right)}$

$3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }=x{a}\limits^{\rightarrow }+y{b}\limits^{\rightarrow }}$ とおく．

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ 3,1 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\left({ - 2,3 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }=\left({ - 13,3 }\right)}$ より

$3$\displaystyle{\left({ - 13,3 }\right)=x\left({ 3,1 }\right)+y\left({ - 2,3 }\right)}$

が得られる．この右辺を整理すると

$3$\displaystyle{\left({ - 13,3 }\right)=\left({ 3x,x }\right)+\left({ - 2y,3y }\right)}$ 　（ベクトルの定数倍を参照）

$3$\displaystyle{\left({ - 13,3 }\right)=\left({ 3x- 2y,x+3y }\right)}$ 　（ベクトルの和を参照）

となる．よって

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}- 13=3x- 2y\text{ }･･････\text{$1$}& \vspace{6}\\ 3=x+3y\text{ }･･････\text{$2$}& \vspace{6}\\ \end{array}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

となる連立方程式が得られる．

これを解く．(1)ー3×(2)より

$3$\displaystyle{- 22=- 11y}$

$3$\displaystyle{y=2}$

これを(2)に代入する.

$3$\displaystyle{3=x+3\cdot 2}$

$3$\displaystyle{x=- 3}$

以上より

$3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }=- 3{a}\limits^{\rightarrow }+2{b}\limits^{\rightarrow }}$

となる．

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最終更新日： 2025年10月3日