三角形の面積を求める問題

■問題

空間上の3点 $3$\text{A}\left({ 4,1,3 }\right)$ ， $3$\text{B}\left({ 1,2,1 }\right)$ ， $3$\text{C}\left({ 2,- 1,2 }\right)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 10 }}$

■ヒント

三角形の面積，外積の定義を参考にする．

■解説

●ベクトルの内積を用いた計算

三角形 $3$ABC$ の面積を $3$S$ とすると

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ { \| { \text{AB} }\limits^{⟶} \| }^{2}·{ \| { \text{AC} }\limits^{⟶} \| }^{2}- { $ { \text{AB} }\limits^{⟶}·{ \text{AC} }\limits^{⟶} $ }^{2} }}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

この式の内容は三角形の面積に詳しく書いてある

となる．

$3$\displaystyle{ { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }=\left({ 4,1,3 }\right) }$

$3$\displaystyle{ { \text{OB} }\limits^{\rightarrow }=\left({ 1,2,1 }\right) }$

$3$\displaystyle{ { \text{OC} }\limits^{\rightarrow }=\left({ 2,- 1,2 }\right) }$

であることより

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ 1,2,1 }\right)- \left({ 4,1,3 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ - 3,1,- 2 }\right)}$

$3$\displaystyle{{\left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|}^{2}={\left({ - 3 }\right)}^{2}+{1}^{2}+{\left({ - 2 }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{=9+1+4}$ $3$\displaystyle{=14}$

$3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ 2,- 1,2 }\right)- \left({ 4,1,3 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ - 2,- 2,- 1 }\right)}$

$3$\displaystyle{{\left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right|}^{2}={\left({ - 2 }\right)}^{2}+{\left({ - 2 }\right)}^{2}+{\left({ - 1 }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{=4+4+1}$ $3$\displaystyle{=9}$

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }=\left({ - 3,1,- 2 }\right)\cdot \left({ - 2,- 2,- 1 }\right)}$ $3$\displaystyle{=- 3\cdot \left({ - 2 }\right)+1\cdot \left({ - 2 }\right)- 2\cdot \left({ - 1 }\right)}$ $3$\displaystyle{=6- 2+2}$ $3$\displaystyle{=6}$

となる．よって

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 14\cdot 9- {6}^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 9\left({ 14- 4 }\right) }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 10 }}$

●ベクトルの外積を用いた計算

外積 $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ の大きさ $3$\displaystyle{\left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right|}$ は， $3$\displaystyle{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }$ と $3$\displaystyle{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }$ を2辺とする平行四辺形の面積になる(外積の定義を参照)．よって，三角形 $3$ABC$ の面積 $3$S$ は

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right|}$

となる．

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ - 3,1,- 2 }\right)\times \left({ - 2,- 2,- 1 }\right)}$

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}=\left({ 1\cdot \left({ - 1 }\right)- \left({ - 2 }\right)\cdot \left({ - 2 }\right) & \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}},\left({ - 2 }\right)\cdot \left({ - 2 }\right)- \left({ - 3 }\right)\cdot \left({ - 1 }\right)& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\left.{ ,\left({ - 3 }\right)\cdot \left({ - 2 }\right)- 1\cdot \left({ - 2 }\right) }\right\)& \vspace{6}\\ \end{array}}$

$3$\displaystyle{=\left({ - 5,1,8 }\right)}$

よって

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ { \left({ - 5 }\right) }^{2}+{1}^{2}+{8}^{2} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 25+1+64 }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 90 }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 10 }}$

となる．

■3Dグラフ

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最終更新日： 2025年4月18日