ベクトルの計算問題

■問題

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ 2,3 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }=\left({ 4t+3,2t- 1 }\right) }$ とする．

$3$t$ が $3$\displaystyle{- \infty}$ から $3$\displaystyle{+\infty}$ に変化したとき， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ の終点の軌跡は直線を描く．どのような直線か答よ．
$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ が平行な関係になるときの $3$t$ の値を求めよ．
$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ が垂直な関係になるときの $3$t$ の値を求めよ

■答

傾きが $3$2$ で，点 $3$\displaystyle{\left({ 3,- 1 }\right)}$ を通る直線．
式で表すと

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$
となる．
$3$\displaystyle{t=- \frac{\hspace{2} 11 \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}}$
$3$\displaystyle{t=- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} 14 \hspace{2}}}$

■ヒント

■解説

●(1)の解説

$3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\left({ 4t+3,2t- 1 }\right)}$ $3$\displaystyle{=2t\left({ 2,1 }\right)+\left({ 3,- 1 }\right)}$ ･･････(1)

(1)より， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ の終点の軌跡は

方向ベクトルが $3$\displaystyle{\left({ 2,1 }\right)}$ で，点 $3$\displaystyle{\left({ 3,- 1 }\right)}$ を通る直線　･･････(i)

になる．

$3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\left({ x,y }\right)}$ とおくと

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}x=4t+3\text{ }･･････\text{$2$}& \vspace{6}\\ y=2t- 1\text{ }･･････\text{$3$}& \vspace{6}\\ \end{array}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
（ $3$t$ は媒介変数）

の関係がある．(2)より

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2} x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ ･･････(4)

(4)を(3)に代入する．

$3$\displaystyle{y=2\left({ \frac{\hspace{2} x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right)- 1}$

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ･･････(4)

(4)は

傾きが $3$2$ で $3$y$ 切片が $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ の直線　･･････(ii)

を表す．

(i)，(ii)より， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ の終点の軌跡は

傾きが $3$2$ で，点 $3$\displaystyle{\left({ 3,- 1 }\right)}$ を通る直線　･･････(iii)

を描くとも表現できる．

●(2)の解説

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ が平行な関係であると

$3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=k{a}\limits^{\rightarrow }}$ （ $3$\displaystyle{k}$ は定数）･･････(5)

である．よって

$3$\displaystyle{\left({ 4t+3,2t- 1 }\right)=k\left({ 2,3 }\right)}$ ･･････(6)

関係より，連立方程式

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}4t+3=2k\text{ }･･････\text{$7$}& \vspace{6}\\ 2t- 1=3k\text{ }･･････\text{$8$}& \vspace{6}\\ \end{array}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

が得られる．この連立方程式を解く．

(7)×3－(8)×2より

$3$\displaystyle{8t+11=0}$

$3$\displaystyle{t=- \frac{\hspace{2} 11 \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}}$ ･･････(9)

(8)に(9)を代入する．

$3$\displaystyle{2\left({ - \frac{\hspace{2} 11 \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} }\right)- 1=3k}$

$3$\displaystyle{k=- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ ･･････(10)

●(3)の解説

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ が垂直な関係であると

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }=0}$ ･･････(11)

である．よって

$3$\displaystyle{\left({ 2,3 }\right)\cdot \left({ 4t+3,2t- 1 }\right)=0}$

$3$\displaystyle{2\left({ 4t+3 }\right)+3\left({ 2t- 1 }\right)=0}$

$3$\displaystyle{8t+6+6t- 3=0}$

$3$\displaystyle{14t+3=0}$

$3$\displaystyle{t=- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} 14 \hspace{2}}}$ ･･････(12)

となる．

スライダーの横バーの中にある〇印をドラッグして左右に動かすと $3$t$ の値が変化する．

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最終更新日： 2025年10月15日