ベクトルの計算問題

■問題

点 $3$\text{A}$ $3$\displaystyle{ \left({ - 1,- 1,1 }\right) }$ ，点 $3$\text{B}$ $3$\displaystyle{\left({ - 1,3,- 1 }\right)}$ ，点 $3$\text{C}$ $3$\displaystyle{\left({ 1,3,- 2 }\right)}$ ，点 $3$\text{D}$ $3$\displaystyle{\left({ 3,3,3 }\right)}$ を頂点とする四面体の体積を求めよ．

■答

四面体の体積は $3$8$

■ヒント

△ $3$\text{ABC}$ を底面とする三角錐と考える．

三角錐の体積を参照

別解へ

■解説

△ $3$\text{ABC}$ を底面とする三角錐として四面体の体積を計算する．

●底面の●△ $3$\text{ABC}$ の面積

△ $3$\text{ABC}$ の面積を $3$S$ とすると

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ { \left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right| }^{2}\cdot { \left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right| }^{2}- { \left({ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right) }^{2} }}$ ･･････(1)

である．座標空間の原点を $3$\text{O}$ とする．

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ - 1,3,- 1 }\right)- \left({ - 1,- 1,1 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ 0,4,- 2 }\right)}$ ･･････(2)

$3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ 1,3,- 2 }\right)- \left({ - 1,- 1,1 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ 2,4,- 3 }\right)}$ ･･････(3)

$3$\displaystyle{{\left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|}^{2}={0}^{2}+{4}^{2}+{\left({ - 2 }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{=20}$ ･･････(4)

$3$\displaystyle{{\left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right|}^{2}={2}^{2}+{4}^{2}+{\left({ - 3 }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{=29}$ ･･････(5)

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }=\left({ 0,4,- 2 }\right)\cdot \left({ 2,4,- 3 }\right)}$ $3$\displaystyle{=0+16+6}$ $3$\displaystyle{=22}$ ･･････(6)

(4)，(5)，(6)を(1)に代入する．

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 20\cdot 29- { \left({ 22 }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 580- 484 }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 96 }}$ $3$\displaystyle{=2\sqrt{6}}$ ･･････(7)

●三角錐の高さ

頂点 $3$\text{D}$ から底面に下した垂線と底面との交点を $3$\text{H}$ $3$\displaystyle{\left({ x,y,z }\right)}$ とする．三角錐の高さを $3$h$ とすると

$3$\displaystyle{h=\left|{ { \text{DH} }\limits^{\rightarrow } }\right|}$ ･･････(8)

となる．

$3$\displaystyle{\left|{ { \text{DH} }\limits^{\rightarrow } }\right|}$ が三角錐の高さであることより， $3$\displaystyle{ { \text{DH} }\limits^{\rightarrow } }$ と $3$\displaystyle{ { \text{AH} }\limits^{\rightarrow } }$ ， $3$\displaystyle{ { \text{DH} }\limits^{\rightarrow } }$ と $3$\displaystyle{ { \text{BH} }\limits^{\rightarrow } }$ ， $3$\displaystyle{ { \text{DH} }\limits^{\rightarrow } }$ と $3$\displaystyle{ { \text{CH} }\limits^{\rightarrow } }$ は垂直な関係である．よって

$3$\displaystyle{{ \text{DH} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AH} }\limits^{\rightarrow }=0}$ ･･････(9)

$3$\displaystyle{{ \text{DH} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{BH} }\limits^{\rightarrow }=0}$ ･･････(10)

$3$\displaystyle{{ \text{DH} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{CH} }\limits^{\rightarrow }=0}$ ･･････(11)

が成り立つ．

$3$\displaystyle{{ \text{AH} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OH} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ x,y,z }\right)- \left({ - 1,- 1,1 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ x+1,y+1,z- 1 }\right)}$ ･･････(12)

$3$\displaystyle{{ \text{BH} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OH} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OB} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ x,y,z }\right)- \left({ - 1,3,- 1 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ x+1,y- 3,z+1 }\right)}$ ･･････(13)

$3$\displaystyle{{ \text{CH} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OH} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OC} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ x,y,z }\right)- \left({ 1,3,- 2 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ x- 1,y- 3,z+2 }\right)}$ ･･････(14)

$3$\displaystyle{{ \text{DH} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OH} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OD} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ x,y,z }\right)- \left({ 3,3,3 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ x- 3,y- 3,z- 3 }\right)}$ ･･････(15)

(9)に(12)，(15)を代入する．

$3$\displaystyle{\left({ x- 3,y- 3,z- 3 }\right)\cdot \left({ x+1,y+1,z- 1 }\right)=0}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}- 2x- 3+{y}^{2}- 2y- 3+{z}^{2}- 4z+3=0}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}- 2x+{y}^{2}- 2y+{z}^{2}- 4z- 3=0}$ ･･････(16)

(10)に(13)，(15)を代入する．

$3$\displaystyle{\left({ x- 3,y- 3,z- 3 }\right)\cdot \left({ x+1,y- 3,z+1 }\right)=0}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}- 2x- 3+{y}^{2}- 6y+9+{z}^{2}- 2z- 3=0}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}- 2x+{y}^{2}- 6y+{z}^{2}- 2z+3=0}$ ･･････(17)

(11)に(14)，(15)を代入する．

$3$\displaystyle{\left({ x- 3,y- 3,z- 3 }\right)\cdot \left({ x- 1,y- 3,z+2 }\right)=0}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}- 4x+3+{y}^{2}- 6y+9+{z}^{2}- z- 6=0}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}- 4x+{y}^{2}- 6y+{z}^{2}- z+6=0}$ ･･････(18)

(16) , (17)，(18)から成る連立方程式を解く．

(16)－(17)より

$3$\displaystyle{4y- 2z- 6=0}$ ･･････(19)

(17)－(18)より

$3$\displaystyle{2x- z- 3=0}$ ･･････(20)

(19)より

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}z+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ･･････(21)

(20)より

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}z+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ･･････(22)

(21)，(22)を(16)に代入する．

$3$\displaystyle{{\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}z+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}- 2\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}z+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)+{\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}z+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}- 2\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}z+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)+{z}^{2}- 4z- 3=0}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{z}^{2}+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}z+\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- z- 3+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{z}^{2}+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}z+\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- z- 3+{z}^{2}- 4z- 3=0}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{z}^{2}- 3z- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=0}$

$3$\displaystyle{{z}^{2}- 2z- 3=0}$

$3$\displaystyle{\left({ z+1 }\right)\left({ z- 3 }\right)=0}$

$3$\displaystyle{z=- 1,3}$

$3$z=- 1$ のとき，(21)，(22)より

$3$x=1$ ， $3$y=1$

$3$z=3$ のとき，(21)，(22)より

$3$x=3$ ， $3$y=3$

よって

$3$\displaystyle{\left({ x,y,z }\right)=\left({ 1,1,- 1 }\right),\left({ 3,3,3 }\right)}$

となるが， $3$\left({ 3,3,3 }\right)$ は，点 $3$\text{D}$ と一致するので，点 $3$\text{H}$ は $3$\left({ 1,1,- 1 }\right)$ となる．したがって

$3$\displaystyle{{ \text{OH} }\limits^{\rightarrow }=\left({ 1,1,- 1 }\right)}$ ･･････(23)

である．

$3$\displaystyle{{ \text{DH} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OH} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OD} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ 1,1,- 1 }\right)- \left({ 3,3,3 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ - 2,- 2,- 4 }\right)}$

$3$\displaystyle{\left|{ { \text{DH} }\limits^{\rightarrow } }\right|=\sqrt{ { \left({ - 2 }\right) }^{2}+{ \left({ - 2 }\right) }^{2}+{ \left({ - 4 }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ 24 }}$ $3$\displaystyle{=2\sqrt{6}}$