ベクトルの計算問題(別解)

■問題

点 $3$\text{A}$ $3$\displaystyle{ \left({ - 1,- 1,1 }\right) }$ ，点 $3$\text{B}$ $3$\displaystyle{\left({ - 1,3,- 1 }\right)}$ ，点 $3$\text{C}$ $3$\displaystyle{\left({ 1,3,- 2 }\right)}$ ，点 $3$\text{D}$ $3$\displaystyle{\left({ 3,3,3 }\right)}$ を頂点とする四面体の体積を求めよ．

■答

四面体の体積は $3$8$

■ヒント

四面体の体積の式を利用

■解説

四面体の体積 $3$V$ は

$3$\displaystyle{V=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}\left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\cdot \left({ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AD} }\limits^{\rightarrow } }\right) }\right|}$

である．

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }=\left({ - 1,3,- 1 }\right)- \left({ - 1,- 1,1 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ 0,4,- 2 }\right)}$

$3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }=\left({ - 1,3,- 1 }\right)- \left({ 1,3,- 2 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ - 2,0,1 }\right)}$

$3$\displaystyle{{ \text{AD} }\limits^{\rightarrow }=\left({ - 1,3,- 1 }\right)- \left({ 3,3,3 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ - 4,0,- 4 }\right)}$

よって

$3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AD} }\limits^{\rightarrow }=\left({ - 2,0,1 }\right)\times \left({ - 4,0,- 4 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ 0,- 12,0 }\right)}$

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{x},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{a}_{y},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{a}_{z} $ }$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{x},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{b}_{y},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{b}_{z} $ }$ のとき

外積： $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{= $ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} $ }$

より

$3$x$ 成分 $3$\displaystyle{=0\cdot \left({ - 4 }\right)- 1\cdot 0=0}$

$3$y$ 成分 $3$\displaystyle{=1\cdot \left({ - 4 }\right)- \left({ - 2 }\right)\cdot \left({ - 4 }\right)=- 12}$

$3$z$ 成分 $3$\displaystyle{=\left({ - 2 }\right)\cdot 0- 0\cdot \left({ - 4 }\right)=0}$

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\cdot \left({ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AD} }\limits^{\rightarrow } }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ 0,4,- 2 }\right)\cdot \left({ 0,- 12,0 }\right)}$ $3$\displaystyle{=0- 48+0}$ $3$\displaystyle{=- 48}$

したがって

$3$\displaystyle{V=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}\left|{ - 48 }\right|=8}$

となる．

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最終更新日： 2025年10月23日