四面体の体積

点 $3$\text{O}$ ，点 $3$\text{A}$ ，点 $3$\text{B}$ ，点 $3$\text{C}$ ，を頂点とする四面体の体積は

$3$\displaystyle{V=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}\left|{ { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }\cdot \left({ { \text{OB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{OC} }\limits^{\rightarrow } }\right) }\right|}$

となる．

■導出

図のような平行六面体を考える.

平行六面体 $3$\text{OAFC-CEGD}$ の体積は

$3$\displaystyle{\left|{ { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }\cdot \left({ { \text{OB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{OC} }\limits^{\rightarrow } }\right) }\right|}$

である．

三角柱 $3$\text{OBC-AFE}$ の体積は，平行六面体 $3$\text{OAFC-CEGD}$ の体積の $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ である．さらに、四面体 $3$\text{OABC}$ の体積は，三角柱 $3$\text{OBC-AFE}$ の体積の $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ である(ここを参照)．よって，四面体 $3$\text{OABC}$ の体積 $3$V$ は

となる．

ホーム>>カテゴリー分類>>ベクトル>>四面体の体積

最終更新日 2025年10月23日