平行六面体の体積

$3$\displaystyle{ { \hspace{1}{a}_{1} }\limits^{\rightarrow } }$ ， $3$\displaystyle{ { \hspace{1}{a}_{2} }\limits^{\rightarrow } }$ ， $3$\displaystyle{ { \hspace{1}{a}_{3} }\limits^{\rightarrow } }$ を3辺とする平行六面体の体積 $3$V$ は

$3$\displaystyle{V=\left|{ { \hspace{1}{a}_{1} }\limits^{\rightarrow }\cdot \left({ { \hspace{1}{a}_{2} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{a}_{3} }\limits^{\rightarrow } }\right) }\right|}$ ･･････(1)

となる．

■導出

図のような平行六面体を考える.

$3$\displaystyle{ { \hspace{1}{a}_{2} }\limits^{\rightarrow } }$ と $3$\displaystyle{ { \hspace{1}{a}_{3} }\limits^{\rightarrow } }$ を2辺とする平行四辺形を平行六面体の底面とする．底面の面積 $3$S$ は，外積の定義より

$3$\displaystyle{S=\left|{ { \hspace{1}{a}_{2} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{a}_{3} }\limits^{\rightarrow } }\right|}$ ･･････(2)

となる．

$3$\displaystyle{ { \hspace{1}{a}_{2} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{a}_{3} }\limits^{\rightarrow } }$ のベクトルは底面と垂直な関係である． $3$\displaystyle{ { \hspace{1}{a}_{1} }\limits^{\rightarrow } }$ と $3$\displaystyle{ { \hspace{1}{a}_{2} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{a}_{3} }\limits^{\rightarrow } }$ のなす角を $3$\displaystyle{{\theta}}$ とすると，平行六面体の高さ $3$h$ は

$3$\displaystyle{h=\left|{ { \hspace{1}{a}_{1} }\limits^{\rightarrow } }\right|\left|{ \cos {\theta} }\right|}$ ･･････(3)

（ $3$\displaystyle{ { \hspace{1}{a}_{1} }\limits^{\rightarrow } }$ ， $3$\displaystyle{ { \hspace{1}{a}_{2} }\limits^{\rightarrow } }$ ， $3$\displaystyle{ { \hspace{1}{a}_{3} }\limits^{\rightarrow } }$ の位置関係によっては， $3$\displaystyle{90^\circ < {\theta}< 180^\circ }$ となり， $3$\displaystyle{\cos {\theta}< 0}$ の場合もあるので， $3$\displaystyle{\cos {\theta}}$ の絶対値を取っている）

となる．

(2)，(3)より，平行六面体の体積 $3$V$ は

$3$\displaystyle{V=Sh}$

$3$\displaystyle{=\left|{ { \hspace{1}{a}_{2} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{a}_{3} }\limits^{\rightarrow } }\right|\left|{ { \hspace{1}{a}_{1} }\limits^{\rightarrow } }\right|\left|{ \cos {\theta} }\right|}$

$3$\displaystyle{=\left|{ \left|{ { \hspace{1}{a}_{2} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{a}_{3} }\limits^{\rightarrow } }\right|\left|{ { \hspace{1}{a}_{1} }\limits^{\rightarrow } }\right|\cos {\theta} }\right|}$

（ $3$\displaystyle{ \left|{ { \hspace{1}{a}_{2} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{a}_{3} }\limits^{\rightarrow } }\right|\left|{ { \hspace{1}{a}_{1} }\limits^{\rightarrow } }\right|\cos {\theta} }$ の絶対値を取っている）

内積の定義より式を変形する

$3$\displaystyle{=\left|{ \left({ { \hspace{1}{a}_{2} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{a}_{3} }\limits^{\rightarrow } }\right)\cdot { \hspace{1}{a}_{1} }\limits^{\rightarrow } }\right|}$

内積は交換法則が成り立つことより

$3$\displaystyle{=\left|{ { \hspace{1}{a}_{1} }\limits^{\rightarrow }\cdot \left({ { \hspace{1}{a}_{2} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{a}_{3} }\limits^{\rightarrow } }\right) }\right|}$

となる．

実際の計算は，3次の行列式の幾何学的解釈を参考にするとよい．

【備考】 $3$\displaystyle{ { \hspace{1}{a}_{1} }\limits^{\rightarrow }\cdot \left({ { \hspace{1}{a}_{2} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{a}_{3} }\limits^{\rightarrow } }\right) }$ のことをスカラー3重積という．

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最終更新日 2025年10月23日