3次の行列式の幾何学的解釈

3次の行列式の場合

$3$\displaystyle{ \|A\| = \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 13 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \hspace{1}{a}_{ 23 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 31 } & \hspace{1}{a}_{ 32 } & \hspace{1}{a}_{ 33 } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ の1,2,3列目を，それぞれ列ベクトルとして

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 31 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$ , $3$\displaystyle{ \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 32 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{3}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 13 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 23 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 33 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$

とおくと， $3$\displaystyle{ \|A\| }$ の絶対値は $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{3}}$ を3辺とする平行六面体の体積に等しい．

■導出

$3$\displaystyle{ \|A\| }$ を第1列で余因子展開すると

$3$\displaystyle{ \|A\| =\hspace{1}{a}_{ 11 } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 22 } & \hspace{1}{a}_{ 23 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 32 } & \hspace{1}{a}_{ 33 } & \vspace{6}\\ \end{array} \| - \hspace{1}{a}_{ 21 } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 13 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 32 } & \hspace{1}{a}_{ 33 } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{a}_{ 31 } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 13 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 22 } & \hspace{1}{a}_{ 23 } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\cdot \left({ \begin{array} \left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 22 } & \hspace{1}{a}_{ 23 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 32 } & \hspace{1}{a}_{ 33 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| & \vspace{6}\\ - \left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 13 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 32 } & \hspace{1}{a}_{ 33 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| & \vspace{6}\\ \left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 13 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 22 } & \hspace{1}{a}_{ 23 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$

となる．ここで

$3$\displaystyle{ \left({ \begin{array} \left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 22 } & \hspace{1}{a}_{ 23 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 32 } & \hspace{1}{a}_{ 33 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| & \vspace{6}\\ - \left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 13 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 32 } & \hspace{1}{a}_{ 33 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| & \vspace{6}\\ \left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 13 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 22 } & \hspace{1}{a}_{ 23 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$ $3$\displaystyle{ =\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 22 }\hspace{1}{a}_{ 33 }- \hspace{1}{a}_{ 23 }\hspace{1}{a}_{ 32 } & \vspace{6}\\ - \left({ \hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{a}_{ 33 }- \hspace{1}{a}_{ 13 }\hspace{1}{a}_{ 32 } }\right) & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{a}_{ 23 }- \hspace{1}{a}_{ 13 }\hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{\mathbb{a}}_{2}\times \hspace{1}{\mathbb{a}}_{3} }$ （ベクトルの外積）

であるので，

$3$\displaystyle{ \|A\| =\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\cdot $ \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}\times \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{3} $ }$

となる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}}$ と $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}\times \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{3}}$ のなす角を $3$\displaystyle{{\theta}}$ とすると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\cdot $ \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}\times \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{3} $ = \| \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1} \| \| \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}\times \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{3} \| \cos {\theta}}$

$3$\displaystyle{= \| \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}\times \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{3} \| $ \| \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1} \| \cos {\theta} $ }$

となる． $3$\displaystyle{ \| \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}\times \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{3} \| }$ は $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}$ と $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{3}}$ を2辺とする平行四辺形の面積の値であり， $3$\displaystyle{ \|\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\| \cos {\theta}}$ の絶対値は， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{2}}$ と $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{3}}$ を2辺とする平行四辺形を底面とする平行六面体の高さである（図を見よ）．

したがって $3$\displaystyle{{0}^{^\circ }\leq {\theta}\leq {90}^{^\circ }}$ のとき， $3$\displaystyle{ \|A\| }$ の値は $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{3}}$ を3辺とする平行六面体の体積の値となり， $3$\displaystyle{{90}^{^\circ }< {\theta}\leq {180}^{^\circ }}$ のとき， $3$\displaystyle{ \|A\| }$ の値は上記体積の値に $3$\displaystyle{- 1}$ をかけたものになる．

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>行列式の幾何学的解釈

学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年4月22日