ベクトルの計算問題

■問題

座標平面において，点 $3$\text{Q}$ と点 $3$\text{R}$ があり， $3$\displaystyle{{ \text{OQ} }\limits^{\rightarrow }=}$ $3$\displaystyle{{q}\limits^{\rightarrow }=\left({ - 1,4 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{OR} }\limits^{\rightarrow }=}$ $3$\displaystyle{{r}\limits^{\rightarrow }=\left({ 2,- 1 }\right)}$ とする．以下に示す条件を満たす点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({{p}\limits^{\rightarrow }}\right)}$ の範囲を求めよ．ただし， $3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }={ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }}$ とする．

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=s{q}\limits^{\rightarrow }+t{r}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{s+t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{s\geq 0}$ ， $3$\displaystyle{t\geq 0}$

■答

点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({{p}\limits^{\rightarrow }}\right)}$ は，点 $3$\displaystyle{\left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},2 }\right)}$ と点 $3$\displaystyle{\left({ 1,- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$ を結ぶ線分上にある．

■ヒント

点が線分上にあるための条件を参考する．

■解説

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=s{q}\limits^{\rightarrow }+t{r}\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{s+t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ･･････(２)

とおく

(２)より

$3$\displaystyle{s=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- t}$ ･･････(3)

(3)を(1)に代入すると

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- t }\right){q}\limits^{\rightarrow }+t{r}\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(4)

となる．(4)を以下のように式変形する．

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{q}\limits^{\rightarrow }- t{q}\limits^{\rightarrow }+t{r}\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{q}\limits^{\rightarrow }+t\left({ {r}\limits^{\rightarrow }- {q}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ ･･････(5)

(5)は点 $3$\displaystyle{\text{A}\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{q}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ を通り，方向ベクトルが $3$\displaystyle{ {r}\limits^{\rightarrow }- {q}\limits^{\rightarrow } }$ を通る直線のベクトル方程式である．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{q}\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ - 1,4 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},2 }\right)}$

$3$\displaystyle{{r}\limits^{\rightarrow }- {q}\limits^{\rightarrow }=\left({ 2,- 1 }\right)- \left({ - 1,4 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ 3,- 5 }\right)}$

より，(5) は，点 $3$\displaystyle{\left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},2 }\right)}$ を通り，方向ベクトルが $3$\displaystyle{\left({ 3,- 5 }\right)}$ の直線を表す式である．

直線の方程式を求める．方向ベクトルより，直線の傾きは $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ となる．よって，直線の方程式は

$3$\displaystyle{y- 2=- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{y=- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x+\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$

となる．

(5)と $3$t$ の範囲から点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({{p}\limits^{\rightarrow }}\right)}$ が存在する直線の範囲を求める．

(3)と $3$\displaystyle{s\geq 0}$ ， $3$\displaystyle{t\geq 0}$ より

$3$\displaystyle{0\leq t\leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる．

◇ $3$\displaystyle{t=0}$ のとき

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{q}\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ - 1,4 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},2 }\right)}$

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ のとき

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{q}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ {r}\limits^{\rightarrow }- {q}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{r}\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 2,- 1 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ 1,- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$

以上より，点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({{p}\limits^{\rightarrow }}\right)}$ は，点 $3$\displaystyle{\left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},2 }\right)}$ と点 $3$\displaystyle{\left({ 1,- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$ を結ぶ線分上にある．

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最終更新日： 2025年11月14日