三角形の面積の問題

■問題

空間座標上の3点 $3$\displaystyle{\text{A}\left({ - 1,- 1,0 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\text{B}\left({ 1,3,4 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\text{C}\left({ 3,1,4 }\right)}$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{2\sqrt{ 17 }}$

■ヒント

三角形の面積の公式

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ { \left|{ { \text{AB} }\limits^{⟶} }\right| }^{2}\cdot { \left|{ { \text{AC} }\limits^{⟶} }\right| }^{2}- { \left({ { \text{AB} }\limits^{⟶}\cdot { \text{AC} }\limits^{⟶} }\right) }^{2} } }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

を使う．あるいは

ベクトル $3$\displaystyle{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\text{\times }{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }$ の大きさは， $3$\displaystyle{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }$ と $3$\displaystyle{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }$ を2辺とする平行四辺形の面積となることを利用する． (外積の定義を参照)

平行四辺形の面積を $3$\displaystyle{S}$ とすると

$3$\displaystyle{S= \| { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } \| }$

となり，三角形の面積は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}S\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \| { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } \| \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる． $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{x}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{y}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{z} $ }$ ， $3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{x}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{b}_{y}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{b}_{z} $ }$ のとき

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{= $ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} $ }$

(外積の成分表示を参照)

となる．

■解説

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }}$ , $3$\displaystyle{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }$ の成分を求めると，

$3$\displaystyle{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }={ \text{AO} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ = $ 1,3,4 $ - $ - 1,- 1,0 $ = $ 2,4,4 $ }$

$3$\displaystyle{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }={ \text{AO} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{OC} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ = $ 3,1,4 $ - $ - 1,- 1,0 $ = $ 4,2,4 $ }$

となる．

$3$\displaystyle{{\left|{ { \text{AB} }\limits^{⟶} }\right|}^{2}={2}^{2}+{4}^{2}+{4}^{2}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{=36}$

$3$\displaystyle{{\left|{ { \text{AC} }\limits^{⟶} }\right|}^{2}={4}^{2}+{2}^{2}+{4}^{2}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{=36}$

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{⟶}\cdot { \text{AC} }\limits^{⟶}=\left({ 2,4,4 }\right)\cdot \left({ 4,2,4 }\right)}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{=8+8+16}$ $3$\displaystyle{=32}$

これらの値を使うと三角形の面積は公式より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 36\times 36- { 32 }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ { \left({ 2\times 3 }\right) }^{4}- {2}^{ 10 } }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ {2}^{4}\left({ {3}^{4}- {2}^{6} }\right) }}$ $3$\displaystyle{=2\sqrt{ 81- 64 }}$ $3$\displaystyle{=2\sqrt{ 17 }}$

となる．

次は，外積を使った方法で三角形の面積を求めてみる．

まず，外積 $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ を求める．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y}=4\times 4- 4\times 2=8 }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z}=4\times 4- 2\times 4=8 }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x}= 2 \times 2- 4\times 4=- 12 }$

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }= $ 8,8,- 12 $ }$

となる．

よって，平行四辺形の面積 $3$\displaystyle{\text{S}= \| { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } \| }$ は

$3$\displaystyle{ \| { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } \| = \| $ 8,8,- 12 $ \| }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ {8}^{2}+{8}^{2}+{ $ - 12 $ }^{2} }=4\sqrt{ 17 } }$

となり，求める三角形の面積は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}\text{S}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \| { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } \| \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=2\sqrt{ 17 }}$

となる．

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年4月18日