ベクトルの計算問題

■問題

座標平面において，点 $3$\text{Q}$ と点 $3$\text{R}$ があり， $3$\displaystyle{{ \text{OQ} }\limits^{\rightarrow }=}$ $3$\displaystyle{{q}\limits^{\rightarrow }=\left({ 1,4 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{OR} }\limits^{\rightarrow }=}$ $3$\displaystyle{{r}\limits^{\rightarrow }=\left({ 3,1 }\right)}$ とする．以下に示す条件を満たす点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({{p}\limits^{\rightarrow }}\right)}$ の範囲を求めよ．ただし， $3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }={ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }}$ とする．

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=s{q}\limits^{\rightarrow }+2t{r}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{s+t\leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{s\geq 0}$ ， $3$\displaystyle{t\geq 0}$

■答

点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({{p}\limits^{\rightarrow }}\right)}$ は，原点 $3$\text{O}$ ，点 $3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},2 }\right)}$ ，点 $3$\left({ 3,1 }\right)$ の3点を頂点とする三角形上にある．

■ヒント

点が三角形上にあるための条件を参考する．

■解説

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=s{q}\limits^{\rightarrow }+2t{r}\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{s+t\leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ･･････(２)

とおく

(２)を以下のような式に書き換える．

$3$\displaystyle{s+t=k}$ ･･････(3)

$3$\displaystyle{0\leq k\leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ･･････(4)

(3)より

$3$\displaystyle{s=k- t}$ ･･････(5)

(5)を(1)に代入すると

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=\left({ k- t }\right){q}\limits^{\rightarrow }+2t{r}\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(6)

となる．(6)を以下のように式変形する．

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=k{q}\limits^{\rightarrow }- t{q}\limits^{\rightarrow }+2t{r}\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=k{q}\limits^{\rightarrow }+t\left({ 2{r}\limits^{\rightarrow }- {q}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ ･･････(7)

(7)は点 $3$\displaystyle{\text{A}\left({ k{q}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ を通り，方向ベクトルが $3$\displaystyle{ 2{r}\limits^{\rightarrow }- {q}\limits^{\rightarrow } }$ を通る直線のベクトル方程式である．

(7)と $3$t$ の範囲から点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({{p}\limits^{\rightarrow }}\right)}$ が存在する直線の範囲を求める．

(3)と $3$\displaystyle{s\geq 0}$ ， $3$\displaystyle{t\geq 0}$ より

$3$\displaystyle{0\leq t\leq k}$ ･･････(8)

となる．

◇ $3$\displaystyle{t=0}$ のとき

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=k{q}\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(9)

$3$\displaystyle{t=k}$ のとき

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=k{q}\limits^{\rightarrow }+k\left({ 2{r}\limits^{\rightarrow }- {q}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ $3$\displaystyle{=k\left({ 2{r}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ ･･････(10)

(7)，(8)，(9)より

点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({{p}\limits^{\rightarrow }}\right)}$ は，点 $3$\displaystyle{\text{A}\left({ k{q}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ と点 $3$\displaystyle{\text{B}\left({ k\left({ 2{r}\limits^{\rightarrow } }\right) }\right)}$ を結ぶ線分上にある．　･･････(11)

(4)より

点 $3$\displaystyle{\text{A}\left({ k{q}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ は原点 $3$\text{O}$ から点 $3$\displaystyle{{\text{Q}}^{\prime }\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{q}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ の間に， $3$\displaystyle{\text{B}\left({ k\left({ 2{r}\limits^{\rightarrow } }\right) }\right)}$ は原点 $3$\text{O}$ から点 $3$\displaystyle{\text{R}\left({{r}\limits^{\rightarrow }}\right)}$ にある．ただし，点 $3$\displaystyle{{\text{Q}}^{\prime }}$ の座標は $3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},2 }\right)}$ ，点 $3$\displaystyle{\text{R}}$ の座標は $3$\left({ 3,1 }\right)$ である．･･････(12)

(11)，(12)より

●参考

条件

において， $3$\displaystyle{s=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{s}^{\prime }}$ ， $3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{t}^{\prime }}$ とおくと，(14)は以下のようになる，

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }={s}^{\prime }\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{q}\limits^{\rightarrow } }\right)+{t}^{\prime }{r}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{s}^{\prime }+{t}^{\prime }\leq 1}$ ， $3$\displaystyle{{s}^{\prime }\geq 0}$ ， $3$\displaystyle{{t}^{\prime }\geq 0}$ ･･････(15)

点が三角形上にあるための条件と(15)より（13)が得られる．

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最終更新日： 2025年11月14日