ベクトルの計算問題

■問題

位置ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ が $3$\displaystyle{ \left|{ 2{b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right|=4 }$ を満たしている． $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ 2,- 1 }\right)}$ のとき， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ の終点が描く図形を答えよ．

■ヒント

$3$\displaystyle{{\left|{ 2{b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right|}^{2}}$ $3$\displaystyle{=\left({ 2{b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right)\cdot \left({ 2{b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ 　（ここを参照）

■解説

$3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\left({ x,y }\right)}$ 　･･････(1)

とおく．

$3$\displaystyle{\left|{ 2{b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right|=4}$ ･･････(2)

(2)の両辺を2乗する．

$3$\displaystyle{{\left|{ 2{b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right|}^{2}={4}^{2}}$

$3$\displaystyle{\left({ 2{b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right)\cdot \left({ 2{b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right)=16}$

$3$\displaystyle{2{b}\limits^{\rightarrow }\cdot \left({ 2{b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right)- {a}\limits^{\rightarrow }\cdot \left({ 2{b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right)=16}$

$3$\displaystyle{\left({ 2{b}\limits^{\rightarrow } }\right)\cdot \left({ 2{b}\limits^{\rightarrow } }\right)- \left({ 2{b}\limits^{\rightarrow } }\right)\cdot {a}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow }\cdot \left({ 2{b}\limits^{\rightarrow } }\right)+{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {a}\limits^{\rightarrow }=16}$

$3$4{\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|}^{2}- 4\left({ {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow } }\right)+{\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|}^{2}=16$ 　･･････(3)

となる．

$3$\displaystyle{ { \left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right| }^{2}={x}^{2}+{y}^{2} }$ 　･･････(4)

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }=\left({ 2,- 1 }\right)\cdot \left({ x,y }\right)}$ $3$\displaystyle{=2x- y}$ 　･･････(5)

$3$\displaystyle{{\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|}^{2}={2}^{2}+{\left({ - 1 }\right)}^{2}=5}$ 　･･････(6)

(3)に(4)，(5)，(6)を代入する．

$3$\displaystyle{4\left({ {x}^{2}+{y}^{2} }\right)- 4\left({ 2x- y }\right)+5=16}$

$3$\displaystyle{4{\left({ x- 1 }\right)}^{2}+4{\left({ y+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}=16}$

$3$\displaystyle{{\left({ x- 1 }\right)}^{2}+{\left({ y+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}={2}^{2}}$ 　･･････(7)

(7)は円の方程式で，円の中心が $3$\displaystyle{\left({ 1,- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$ ,半径が $3$2$ の円を表す．

点 $3$\text{B}$ をドラッグして動かしてみよう．

(2)の両辺に $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ をかける．

$3$\displaystyle{\left|{ 2{b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right|\times \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=4\times \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\left|{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 2{b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right) }\right|=2}$

$3$\displaystyle{\left|{ {b}\limits^{\rightarrow }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{a}\limits^{\rightarrow } }\right|=2}$ 　･･････(8)

となる．(8)より， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ の終点は， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ の終点を中心とした半径 $3$2$ の円を描くことが分かる．

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最終更新日： 2025年10月14日