平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の点 $3$\displaystyle{\text{A}\left({ 4,3,2 }\right)}$ を通り， $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }= $ 2,4,5 $ }$ に垂直な平面の方程式を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ 2x+4y+5z=30 }$

■ヒント

点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ を通り， $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }}$ に垂直な平面上の任意の点を $3$\displaystyle{\text{P}}$ としその座標を $3$\displaystyle{ $ x,y,z $ }$ とする．

$3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }}$ は平面の法線ベクトルなので， $3$\displaystyle{ {n}\limits^{\rightarrow }= $ 2,4,5 $ }$ と $3$\displaystyle{{ \text{AP} }\limits^{\rightarrow }= $ x- 4,y- 3,z- 2 $ }$ のなす角は90°となり，

内積は0となる．

よって

$3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AP} }\limits^{\rightarrow }=0}$ (法線ベクトルを参照)

を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AP} }\limits^{\rightarrow }=0}}$ （点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ の座標を $3$\displaystyle{ $ x,y,z $ }$ とする）

$3$\displaystyle{ $ 2,4,5 $ \cdot $ x- 4,y- 3,z- 2 $ =0 }$

$3$\displaystyle{ 2 $ x- 4 $ +4 $ y- 3 $ +5 $ z- 2 $ =0 }$

$3$\displaystyle{ 2x- 8+4y- 12+5z- 10=0 }$

$3$\displaystyle{ 2x+4y+5z=30 }$

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年4月18日