ベクトルの計算問題

■問題

座標平面において，点 $3$\text{Q}$ と点 $3$\text{R}$ があり， $3$\displaystyle{{ \text{OQ} }\limits^{\rightarrow }=}$ $3$\displaystyle{{q}\limits^{\rightarrow }=\left({ 1,2 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{OR} }\limits^{\rightarrow }=}$ $3$\displaystyle{{r}\limits^{\rightarrow }=\left({ 4,3 }\right)}$ とする．ベクトル方程式が， $3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=2s{q}\limits^{\rightarrow }+t{r}\limits^{\rightarrow }}$ ，ただし， $3$\displaystyle{s+t=1}$ のとき， $3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }={ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }}$ とすると点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({{p}\limits^{\rightarrow }}\right)}$ はどのような曲線(直線を含む)上にあるか答えよ．

■答

直線 $3$\displaystyle{y=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x+5}$

■ヒント

点が直線上にあるための条件を参考する．

■解説

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=2s{q}\limits^{\rightarrow }+t{r}\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{\displaystyle{s+t=1}}$ ･･････(２)

とおく

(２)より

$3$\displaystyle{s=1- t}$ ･･････(3)

(3)を(1)に代入すると

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=2\left({ 1- t }\right){q}\limits^{\rightarrow }+t{r}\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(4)

となる．(4)を以下のように式変形する．

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=2{q}\limits^{\rightarrow }- 2t{q}\limits^{\rightarrow }+t{r}\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=2{q}\limits^{\rightarrow }- t\left({ {r}\limits^{\rightarrow }- 2{q}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ ･･････(5)

(5)は点 $3$\displaystyle{\text{A}\left({ 2{q}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ を通り，方向ベクトルが $3$\displaystyle{ {r}\limits^{\rightarrow }- 2{q}\limits^{\rightarrow } }$ を通る直線のベクトル方程式である．

$3$\displaystyle{2{q}\limits^{\rightarrow }=2\left({ 1,2 }\right)=\left({ 2,4 }\right)}$

$3$\displaystyle{{r}\limits^{\rightarrow }- 2{q}\limits^{\rightarrow }=\left({ 4,3 }\right)- 2\left({ 1,2 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ 2,- 1 }\right)}$

より，点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({{p}\limits^{\rightarrow }}\right)}$ は，点 $3$\displaystyle{\left({ 2,4 }\right)}$ を通り，方向ベクトルが $3$\displaystyle{\left({ 2,- 1 }\right)}$ の直線上にある．

直線の方程式を求める.

方向ベクトルより，直線の傾きは $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ となる．よって，直線の方程式は

$3$\displaystyle{y- 4=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ x- 2 }\right)}$

$3$\displaystyle{y=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x+5}$

となる．

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最終更新日： 2025年11月14日