直線の方程式を求める問題

■問題

空間上の2点 $3$\text{A}\left({ 2,3,1 }\right)$ ， $3$\text{B}\left({ 5,5,3 }\right)$ を通る直線の方程式を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- 3 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} z- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

■ヒント

空間の直線の方程式を参考にする．

■解説

空間上の2点 $3$\text{A}\left({ 2,3,1 }\right)$ ， $3$\text{B}\left({ 5,5,3 }\right)$ を通る直線上の点を点 $3$\text{P}\left({ x,y,z }\right)$ とする．

$3$\displaystyle{{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{AP} }\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{={ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+t{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }}$ 　( $3$\displaystyle{t}$ は媒介変数)

$3$\displaystyle{={ \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+t\left({ { \text{OB} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ 2,3,1 }\right)+t\left{{ \left({ 5,5,3 }\right)- \left({ 2,3,1 }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=\left({ 2,3,1 }\right)+t\left({ 3,2,2 }\right)}$

よって

$3$\displaystyle{\left({ x,y,z }\right)=\left({ 2,3,1 }\right)+t\left({ 3,2,2 }\right)}$

$3$\displaystyle{\left({ x- 2,y- 3,z- 1 }\right)=t\left({ 3,2,2 }\right)}$

の関係が得られる．この関係を各成分ごとに式で表すと

$3$\displaystyle{x- 2=3t}$ ， $3$\displaystyle{y- 3=2t}$ ， $3$\displaystyle{z- 1=2t}$

となり，これらを $3$\displaystyle{t}$ について解く．

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2} y- 3 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2} z- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

以上より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- 3 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} z- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

の関係が得られる．この式が求める直線の方程式である．

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最終更新日： 2025年12月1日