垂線の長さの問題

■問題

平面 $3$\displaystyle{ x+2y+4z=21 }$ に，原点から垂線を降ろした．その垂線の長さを求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\sqrt{ 21 }}$

■ヒント

平面の方程式から垂線の方程式をつくる．

原点から垂線を降ろし，交わった点の座標を求め，この値から垂線の長さを求める．

あるいは，公式

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \left|{ a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}+c\hspace{1}{z}_{0}+d }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} } \hspace{2}}}$

を使う．

■解説

平面に垂直なベクトルは

$3$\displaystyle{\left({ 1,2,4 }\right)}$

(平面の方程式の $3$x$ ， $3$y$ ， $3$z$ の係数が，平面に垂直な法線ベクトルの成分になる．平面の方程式を参照 )

である．よって，原点を通って平面に直交する直線の方程式は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}z\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$

となる．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}z\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}=t }$

とおくと

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}x=t& \vspace{6}\\ y=2t& \vspace{6}\\ z=4t& \vspace{6}\\ \end{array} }$

(媒介変数を用いた直線の方程式)

となる．これらを平面の方程式に代入すると

$3$\displaystyle{t+2 $ 2t $ +4 $ 4t $ =2}$

$3$\displaystyle{t+4t+16t=21}$

$3$\displaystyle{21t=21}$

$3$\displaystyle{t=1}$

となる．よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}z\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}=1}$

となり

$3$\displaystyle{x=1,y=2,z=4}$

が得られ，原点から垂線を降ろし交わった点の座標は

$3$\displaystyle{ $ 1,2,4 $ }$

となる．

したがって垂線の長さは

$3$\displaystyle{\sqrt{ {1}^{2}+{2}^{2}+{4}^{2} }=\sqrt{ 21 }}$

公式を使うと

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \left|{ a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}+c\hspace{1}{z}_{0}+d }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left|{ 1\cdot 0+2\cdot 0+4\cdot 0- 21 }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {1}^{2}+{2}^{2}+{4}^{2} } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ 21 }}$

となる．

■3D Graph

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最終更新日： 2025年4月18日