垂線の長さ（点と平面の距離）

点 $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0},\hspace{1}{z}_{0} $ }$ から平面 $3$\displaystyle{ ax+by+cz+d=0 }$ への垂線の長さ（言い換えると点 $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0},\hspace{1}{z}_{0} $ }$ と直線 $3$\displaystyle{ ax+by+cz+d=0 }$ との距離は）は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \| a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}+c\hspace{1}{z}_{0}+d \| \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} } \hspace{2}} }$

となる．

■導出計算

点 $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0},\hspace{1}{z}_{0} $ }$ を $3$\displaystyle{\text{P}}$ 点とする．この $3$\displaystyle{\text{P}}$ 点から平面 $3$\displaystyle{ ax+by+cz+d=0 }$ へ下ろした垂線の足(垂線と平面の交点)を点 $3$\displaystyle{\text{Q}}$ とし，その座標を $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{y}_{1},\hspace{1}{z}_{1} $ }$ をとする．垂線の長さ $3$\displaystyle{\text{PQ}}$ は，2点間の距離となり

$3$\displaystyle{ \text{PQ}= \mid {\text{PQ}}\limits^{\rightarrow }\mid }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ {\left({ \hspace{1}{x}_{1}- \hspace{1}{x}_{0} }\right)}^{\text{2}}{ + \left({ \hspace{1}{y}_{1}- \hspace{1}{y}_{0} }\right) }^{\text{2}}\text{+}{\left({ \hspace{1}{z}_{1}- \hspace{1}{z}_{0} }\right)}^{\text{2}} } }$ $3$\displaystyle{ $ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet {\text{PQ}}\limits^{\rightarrow }= \( \hspace{1}{x}_{1}- \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{1}- \hspace{1}{y}_{0},\hspace{1}{z}_{1}- \hspace{1}{z}_{0}$ \) }$ ･･････(1)

次に， $3$\displaystyle{ {n}\limits^{\rightarrow }= $ a,b,c $ }$ とおくと

$3$\displaystyle{ { \text{PQ} }\limits^{\rightarrow }=k{n}\limits^{\rightarrow } }$ ( $3$k$ は実数) ･･････(2)

と表すことができる．よって

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{1}- \hspace{1}{x}_{0}=ka }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}=\hspace{1}{x}_{0}+ka}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{1}- \hspace{1}{y}_{0}=kb }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{1}=\hspace{1}{y}_{0}+kb}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{z}_{1}- \hspace{1}{z}_{0}=kc }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{z}_{1}=\hspace{1}{z}_{0}+kc}$

となり，点 $3$\displaystyle{\text{Q}}$ の座標 $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{y}_{1},\hspace{1}{z}_{1} $ }$ は

$3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{y}_{1},\hspace{1}{z}_{1} $ = $ \hspace{1}{x}_{0}+ka,\hspace{1}{y}_{0}+kb,\hspace{1}{z}_{0}+kc $ }$

と表わすことができる．点 $3$\displaystyle{\text{Q}}$ は平面 $3$\displaystyle{ ax+by+cz+d=0 }$ 上の点であることより

$3$\displaystyle{a $ \hspace{1}{x}_{0}+ka $ +b $ \hspace{1}{y}_{0}+kb $ +c $ \hspace{1}{y}_{0}+kc $ +d=0}$ ･･････(3)

が成り立つ．(3)を $3$k$ について解くと

$3$\displaystyle{a\hspace{1}{x}_{0}+k{a}^{2}+b\hspace{1}{y}_{0}+k{b}^{2}+c\hspace{1}{y}_{0}+k{c}^{2}+d=0}$

$3$\displaystyle{k $ {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} $ =- $ a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}+c\hspace{1}{y}_{0}+d $ }$

$3$\displaystyle{k=- \frac{\hspace{2} a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}+c\hspace{1}{y}_{0}+d \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \hspace{2}}}$ ･････(4)

なる．(2)と(4)より垂線の長さ $3$\displaystyle{ \| { \text{PQ} }\limits^{\rightarrow } \| }$ は

$3$\displaystyle{ \| { \text{PQ} }\limits^{\rightarrow } \| = \| k{n}\limits^{\rightarrow } \| }$

$3$\displaystyle{= \|k\| \|{n}\limits^{\rightarrow }\| }$

$3$\displaystyle{= \| - \frac{\hspace{2} a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}+c\hspace{1}{y}_{0}+d \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \hspace{2}} \| \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \| a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}+c\hspace{1}{y}_{0}+d \| \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} } \hspace{2}}}$

となる．

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最終更新日： 2025年10月16日