2点間の距離

点 $3$\text{P}$ と点 $3$\text{Q}$ の2点間の距離，言い換えると線分 $3$\text{PQ}$ の長さを，2点の座標成分を使って表現する方法を

数直線の場合
座標平面の場合
座標空間の場合

について述べる．

$2点間の距離(1次元）$ ■数直線の場合

$3$x$ 軸上に点 $3$\text{P}$ と点 $3$\text{Q}$ があり，その座標成分をそれぞれ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{1} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{2} }$ とする．ただし， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}< \hspace{1}{x}_{2}}$ である．この場合，線分 $3$\text{OP}$ の長さは $3$\displaystyle{ \| \hspace{1}{x}_{1} \| }$ ，線分 $3$\text{OQ}$ の長さは $3$\displaystyle{ \| \hspace{1}{x}_{1} \| }$ である．（絶対値を参照）

● $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}> 0}$ かつ $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}> 0}$ の場合

線分 $3$\text{PQ}$ の長さは，線分 $3$\text{OQ}$ の長さから線分 $3$\text{OP}$ の長さを差し引いたものとなる．すなわち

$3$\displaystyle{\bar{ \text{PQ} }=\bar{ \text{OQ} }- \bar{ \text{OP} }= \| \hspace{1}{x}_{2} \| - \| \hspace{1}{x}_{1} \| }$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{x}_{2}- \hspace{1}{x}_{1}}$ 　･･････(1)

となる．

● $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}< 0}$ かつ $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}> 0}$ の場合

線分 $3$\text{PQ}$ の長さは，線分 $3$\text{OQ}$ の長に線分 $3$\text{OP}$ の長さ加えたものとなる．すなわち

$3$\displaystyle{\bar{ \text{PQ} }=\bar{ \text{OQ} }+\bar{ \text{OP} }= \| \hspace{1}{x}_{2} \| + \| \hspace{1}{x}_{1} \| }$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{x}_{2}+ $ - \hspace{1}{x}_{1} $ }$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{x}_{2}- \hspace{1}{x}_{1}}$ 　･･････(2)

となる．

● $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}< 0}$ かつ $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}< 0}$ の場合

線分 $3$\text{PQ}$ の長さは，線分 $3$\text{OP}$ の長さから線分 $3$\text{OQ}$ の長さを差し引いたものとなる．すなわち

$3$\displaystyle{\bar{ \text{PQ} }=\bar{ \text{OP} }- \bar{ \text{OQ} }= \| \hspace{1}{x}_{1} \| - \| \hspace{1}{x}_{2} \| }$ $3$\displaystyle{= $ - \hspace{1}{x}_{1} $ - $ - \hspace{1}{x}_{2} $ }$ $3$\displaystyle{= \hspace{1}{x}_{2}- \hspace{1}{x}_{1} }$ 　･･････(3)

となる．

(1)，(2)，(3)は絶対値を使うと

$3$\displaystyle{ \| \hspace{1}{x}_{2}- \hspace{1}{x}_{1} \| }$

となる．また

$3$\displaystyle{ \| \hspace{1}{x}_{2}- \hspace{1}{x}_{1} \| = \| \hspace{1}{x}_{1}- \hspace{1}{x}_{2} \| }$

であるので，結局2点間の距離は，ただ単に2点の座標成分の差の絶対値になる．この時，座標成分の大小を考えなくてもよい．

$2点間の距離(2次元)$ ■座標平面の場合

線分 $3$\text{PQ}$ は直角三角形 $3$\text{PQA}$ の斜辺になる．三平方の定理より

$3$\displaystyle{{\left({ \bar{ \text{PQ} } }\right)}^{2}={\left({ \bar{ \text{AP} } }\right)}^{2}+{\left({ \bar{ \text{AQ} } }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{ ={ \left({ \left|{ \hspace{1}{x}_{2}- \hspace{1}{x}_{1} }\right| }\right) }^{2}+{ \left({ \left|{ \hspace{1}{y}_{2}- \hspace{1}{y}_{1} }\right| }\right) }^{2} }$

$3$\displaystyle{ ={ \left({ \hspace{1}{x}_{2}- \hspace{1}{x}_{1} }\right) }^{2}+{ \left({ \hspace{1}{y}_{2}- \hspace{1}{y}_{1} }\right) }^{2} }$

となり，よって

$3$\displaystyle{\bar{ \text{PQ} }=\sqrt{ { $ \hspace{1}{x}_{2}- \hspace{1}{x}_{1} $ }^{2}+{ $ \hspace{1}{y}_{2}- \hspace{1}{y}_{1} $ }^{2} }}$

となる．

$2点間の距離(2次元)$ ■座標空間の場合

線分 $3$\text{PQ}$ は直角三角形 $3$\text{PQB}$ の斜辺になる．三平方の定理より

$3$\displaystyle{{ $ \bar{ \text{PQ} } $ }^{2}={ $ \bar{ \text{BP} } $ }^{2}+{ $ \bar{ \text{BQ} } $ }^{2}}$

となる．線分 $3$\text{BP}$ は直角三角形 $3$\text{BAP}$ の斜辺になる．三平方の定理より

$3$\displaystyle{{ $ \bar{ \text{BP} } $ }^{2}={ $ \bar{ \text{AP} } $ }^{2}+{ $ \bar{ \text{AB} } $ }^{2}}$

となる．したがって

$3$\displaystyle{{ $ \bar{ \text{PQ} } $ }^{2}={ $ \bar{ \text{AP} } $ }^{2}+{ $ \bar{ \text{AB} } $ }^{2}+{ $ \bar{ \text{BQ} } $ }^{2}}$

$3$\displaystyle{ \bar{ \text{PQ} } =\sqrt{ { $ \bar{ \text{AP} } $ }^{2}+{ $ \bar{ \text{AB} } $ }^{2}+{ $ \bar{ \text{BQ} } $ }^{2} } }$

$3$\displaystyle{ =\sqrt{ { $ \hspace{1}{x}_{2}- \hspace{1}{x}_{1} $ }^{2}+{ $ \hspace{1}{y}_{2}- \hspace{1}{y}_{1} $ }^{2}+{ $ \hspace{1}{z}_{2}- \hspace{1}{z}_{1} $ }^{2} } }$

となる．

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最終更新日： 2024年8月6日

2点間の距離

■数直線の場合

● かつの場合

● かつ の場合

● かつ の場合

■座標平面の場合

■座標空間の場合

$2点間の距離(1次元）$ ■数直線の場合

● $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}> 0}$ かつ $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}> 0}$ の場合

● $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}< 0}$ かつ $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}> 0}$ の場合

● $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}< 0}$ かつ $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}< 0}$ の場合

$2点間の距離(2次元)$ ■座標平面の場合

$2点間の距離(2次元)$ ■座標空間の場合