直線の方程式の問題

■問題

2つの平面 $3$\displaystyle{x+y+z=6}$ ， $3$\displaystyle{x- y+5z=4}$ が交わることによって生じる直線(交線)の方程式を求めよ．

解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- 5 \hspace{2}}{\hspace{2} - 3 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=z}$

■ヒント

例えば， $3$ z=t$ とおいて，2つの平面の方程式を連立方程させて， $3$x$ と $3$y$ をそれぞれ $3$t$ の関数として表す．この結果を用いる．

■解説

交線上の点 $3$\displaystyle{ $ x,y,z $ }$ は両方の平面上の点であるから

$3$\displaystyle{x+y+z=6}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{x- y+5z=4}$ ･･････(2)

を同時にみたしている．よって，(1)と(2)を連立させることにより，直線の方程式を求める．

(1)+(2)より

$3$\displaystyle{2x+6z=10}$ ， $3$\displaystyle{2x=10- 6z}$ ， $3$\displaystyle{x=- 3z+5}$ ･･････(3)

(1)-(2)より

$3$\displaystyle{2y- 4z=2}$ ， $3$\displaystyle{2y=4z+2}$ ， $3$\displaystyle{y=2z+1}$ ･･････(4)

となる．ここで $3$\displaystyle{z=t}$ とおくことで

$3$\displaystyle{ $ x,y,z $ = $ - 3t+5,2t+1,t $ }$ $3$\displaystyle{= $ 5,1,0 $ +t $ - 3,2,1 $ }$ ･･････(5)

となる媒介変数を用いた直線の方程式が得られる．(5)より

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}x=- 3t+5& \vspace{6}\\ y=2t+1& \vspace{6}\\ z=t& \vspace{6}\\ \end{array}}$

となり

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2} x- 5 \hspace{2}}{\hspace{2} - 3 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=z}$

となる．よって求める直線の方程式は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- 5 \hspace{2}}{\hspace{2} - 3 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=z}$ ･･････(6)

となる．

備考：この直線は，点 $3$\left({ 5,1,0 }\right)$ を通り，方向ベクトルが $3$\left({ - 3,2,1 }\right)$ の直線である．

●別解

$3$x=t$ ･･････(7)

とおくと，(1)，(2)より

$3$t+y+z=6$ ･･････(8)

$3$t- y+5z=4$ ･･････(9)

が得られる．(8)+(9)より

$3$2t+6z=10$

$3$\displaystyle{t=- 3z+5=\frac{\hspace{2} z- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}}$ ･･････(10)

(8)×5-(9)より

$3$4t+6y=26$

$3$\displaystyle{t=- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}y+\frac{\hspace{2} 13 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- \frac{\hspace{2} 13 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}}$ ･･････(11)

となる．

(7)，(10)，(11)より

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2} y- \frac{\hspace{2} 13 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} z- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}}$ ･･････(12)

となる直線の方程式が得られる．この直線の方程式は．点 $3$\displaystyle{\left({ 0,\frac{\hspace{2} 13 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)}$ を通り，方向ベクトルが $3$\displaystyle{\left({ 1,- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)}$ の直線を表す．

(6)と(12)は，異なっているが，同値である．

そのことを確かめる．

(12)の各辺に $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ を掛ける．

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} y- \frac{\hspace{2} 13 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} z- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} - 3 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- \frac{\hspace{2} 13 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=z- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

さらに，各辺に $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ を加える．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} - 3 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- \frac{\hspace{2} 13 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}=z}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- 5 \hspace{2}}{\hspace{2} - 3 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=z}$

となり，(12)を式変形すると(6)と一致する．

このように直線の方程式の書き方は一通りではない．

■3Dグラフ

青色の平面： $3$\displaystyle{x+y+z=6}$

赤色の平面： $3$\displaystyle{x- y+5z=4}$

黒色の直線(2つの平面の交線： $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- 5 \hspace{2}}{\hspace{2} - 3 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=z}$

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最終更新日： 2026年2月6日