平面の方程式の問題

■問題

2つの平面 $3$\displaystyle{x+y+z=6}$ ， $3$\displaystyle{x- y+5z=4}$ が交わることによって生じる直線(交線)の方程式を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- 5 \hspace{2}}{\hspace{2} - 3 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=z}$

■解説

交線上の点 $3$\displaystyle{ $ x,y,z $ }$ は両方の平面上の点であるから

$3$\displaystyle{x+y+z=6}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{x- y+5z=4}$ ･･････(2)

を同時にみたしている．

(1)+(2)より

$3$\displaystyle{2x+6z=10}$ ， $3$\displaystyle{2x=10- 6z}$ ， $3$\displaystyle{x=- 3z+5}$

(1)-(2)より

$3$\displaystyle{2y- 4z=2}$ ， $3$\displaystyle{2y=4z+2}$ ， $3$\displaystyle{y=2z+1}$

となる．ここで $3$\displaystyle{z=t}$ とおくことで

$3$\displaystyle{ $ x,y,z $ = $ - 3t+5,2t+1,t $ }$ $3$\displaystyle{= $ 5,1,0 $ +t $ - 3,2,1 $ }$

よって求める直線の方程式は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- 5 \hspace{2}}{\hspace{2} - 3 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=z}$

■3Dグラフ

青色の平面： $3$\displaystyle{x+y+z=6}$

赤色の平面： $3$\displaystyle{x- y+5z=4}$

黒色の直線(2つの平面の交線： $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- 5 \hspace{2}}{\hspace{2} - 3 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=z}$

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最終更新日： 2025年1月15日