ベクトルの計算問題

■問題

座標平面において，点 $3$\text{A}$ $3$\displaystyle{ \left({ - 4,2 }\right) }$ ，点 $3$\text{B}$ $3$\displaystyle{\left({ - 2,- 2 }\right)}$ ，点 $3$\text{C}$ $3$\displaystyle{\left({ 4,- 1 }\right)}$ ，点 $3$\text{D}$ $3$\displaystyle{\left({ 5,6 }\right)}$ を頂点とする四角形の重心の座標を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2} 81 \hspace{2}}{\hspace{2} 85 \hspace{2}},\frac{\hspace{2} 129 \hspace{2}}{\hspace{2} 85 \hspace{2}} }\right)}$

■ヒント

三角形 $3$\text{ABC}$ において，点 $3$\text{A}$ の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ，点 $3$\text{B}$ の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ，点 $3$\text{C}$ の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ とすると，重心の位置ベクトル $3$\displaystyle{{g}\limits^{\rightarrow }}$ は

$3$\displaystyle{{g}\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ ･･････(1)

が成り立つ．

■解説

線分 $3$\text{BD}$ を引き四角形を2つの三角形に分けて，それぞれの重心を求める．

△ $3$\text{ABD}$ の重心 $3$ \hspace{1}{\text{G}}_{1}$ の位置ベクトル $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{g}_{1} }\limits^{\rightarrow }}$ は

$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{g}_{1} }\limits^{\rightarrow }=}$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left{{ \left({ - 4,2 }\right)+\left({ - 2,- 2 }\right)+\left({ 5,6 }\right) }\right}}$ $3$\displaystyle{=\left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},2 }\right)}$ ･･････(2)

となる．

△ $3$\text{BCD}$ の重心 $3$ \hspace{1}{\text{G}}_{2}$ の位置ベクトル $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{g}_{2} }\limits^{\rightarrow }}$ は

$3$\displaystyle{ { \hspace{1}{g}_{2} }\limits^{\rightarrow }= }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left{{ \left({ - 2,- 2 }\right)+\left({ 4,- 1 }\right)+\left({ 5,6 }\right) }\right}}$ $3$\displaystyle{=\left({ \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},1 }\right)}$ ･･････(3)

となる．

よって，四角形 $3$\text{ABCD}$ の重心 $3$\text{G}$ は，2点 $3$\displaystyle{\left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},2 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},1 }\right)}$ を通る直線 $3$\displaystyle{\hspace{1}{l}_{1}}$ 上にある．この直線上の点の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }}$ とすると，直線のベクトル方程式は

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=\left({ 1- t }\right){ \hspace{1}{g}_{1} }\limits^{\rightarrow }+t{ \hspace{1}{g}_{2} }\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(4)

となる．

次は，線分 $3$\text{AC}$ を引き四角形を2つの三角形に分けて，それぞれの重心を求める．

△ $3$\text{ACD}$ の重心 $3$ \hspace{1}{\text{G}}_{3}$ の位置ベクトル $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{g}_{3} }\limits^{\rightarrow }}$ は

$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{g}_{3} }\limits^{\rightarrow }=}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left{{ \left({ - 4,2 }\right)+\left({ 4,- 1 }\right)+\left({ 5,6 }\right) }\right}}$ $3$\displaystyle{=\left({ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)}$ ･･････(5)

となる．

△ $3$\text{ABC}$ の重心 $3$ \hspace{1}{\text{G}}_{4}$ の位置ベクトル $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{g}_{4} }\limits^{\rightarrow }}$ は

$3$\displaystyle{ { \hspace{1}{g}_{4} }\limits^{\rightarrow }= }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left{{ \left({ - 4,2 }\right)+\left({ - 2,- 2 }\right)+\left({ 4,- 1 }\right) }\right}}$ $3$\displaystyle{=\left({ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)}$ ･･････(6)

となる．

よって，四角形 $3$\text{ABCD}$ の重心 $3$\text{G}$ は，2点 $3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\left({ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)}$ を通る直線 $3$\displaystyle{\hspace{1}{l}_{2}}$ 上にある．この直線上の点の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{q}\limits^{\rightarrow }}$ とすると，直線のベクトル方程式は

$3$\displaystyle{{q}\limits^{\rightarrow }=\left({ 1- s }\right){ \hspace{1}{g}_{3} }\limits^{\rightarrow }+s{ \hspace{1}{g}_{4} }\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(7)

となる．

四角形 $3$\text{ABCD}$ の重心 $3$\text{G}$ は直線 $3$\displaystyle{\hspace{1}{l}_{1}}$ と直線 $3$\displaystyle{\hspace{1}{l}_{2}}$ の交点になる．交点を求める．(4)と(7)より交点においては

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }={q}\limits^{\rightarrow }}$

すなわち

$3$\displaystyle{\left({ 1- t }\right){ \hspace{1}{g}_{1} }\limits^{\rightarrow }+t{ \hspace{1}{g}_{2} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ 1- s }\right){ \hspace{1}{g}_{3} }\limits^{\rightarrow }+s{ \hspace{1}{g}_{4} }\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(8)

となる．

(8)に(2)，(3)，(5)，(6)を代入する．

$3$\displaystyle{\left({ 1- t }\right)\left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},2 }\right)+t\left({ \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},1 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ 1- s }\right)\left({ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)+s\left({ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}t- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},- t+2 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ - \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}s+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},- \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}s+\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)}$

$3$x$ 成分同士， $3$y$ 成分同士が等しいことより以下の連立方程式が得られる．

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}\displaystyle{\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}t- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}s+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}& \vspace{6}\\ \displaystyle{- t+2=- \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}s+\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}& \vspace{6}\\ \end{array}}$

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}8t+7s=6\text{ }\text{ }\cdots \cdots $9$& \vspace{6}\\ - 3t+8s=1\text{ }\text{ }\cdots \cdots $10$& \vspace{6}\\ \end{array}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

(10)より

$3$\displaystyle{s=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}t+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}}$ ･･････(11)

(11)を(9)に代入する．

$3$\displaystyle{8t+7\left({ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}t+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} }\right)=6}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 85 \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}t=\frac{\hspace{2} 41 \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2} 41 \hspace{2}}{\hspace{2} 85 \hspace{2}}}$ ･･････(12)

(12)を(10)に代入する．

$3$\displaystyle{- 3\cdot \frac{\hspace{2} 41 \hspace{2}}{\hspace{2} 85 \hspace{2}}+8s=1}$

$3$\displaystyle{8s=\frac{\hspace{2} 208 \hspace{2}}{\hspace{2} 85 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{s=\frac{\hspace{2} 26 \hspace{2}}{\hspace{2} 85 \hspace{2}}}$ ･･････(13)

(4)に(12)，(2)，(3)を代入する．

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=\left({ 1- \frac{\hspace{2} 41 \hspace{2}}{\hspace{2} 85 \hspace{2}} }\right)\left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},2 }\right)+\frac{\hspace{2} 41 \hspace{2}}{\hspace{2} 85 \hspace{2}}\left({ \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},1 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ \frac{\hspace{2} 81 \hspace{2}}{\hspace{2} 85 \hspace{2}},\frac{\hspace{2} 129 \hspace{2}}{\hspace{2} 85 \hspace{2}} }\right)}$ ･･････(14)

$3$\displaystyle{{q}\limits^{\rightarrow }=\left({ 1- \frac{\hspace{2} 26 \hspace{2}}{\hspace{2} 85 \hspace{2}} }\right)\left({ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)+\frac{\hspace{2} 26 \hspace{2}}{\hspace{2} 85 \hspace{2}}\left({ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ \frac{\hspace{2} 81 \hspace{2}}{\hspace{2} 85 \hspace{2}},\frac{\hspace{2} 129 \hspace{2}}{\hspace{2} 85 \hspace{2}} }\right)}$ ･･････(15)

以上より，重心の座標 $3$\text{G}$ は

$3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2} 81 \hspace{2}}{\hspace{2} 85 \hspace{2}},\frac{\hspace{2} 129 \hspace{2}}{\hspace{2} 85 \hspace{2}} }\right)}$

となる．

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最終更新日： 2025年11月4日