三角形の重心の位置ベクトル

三角形 $3$\text{ABC}$ の頂点 $3$\text{A}$ の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ，頂点 $3$\text{B}$ の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ，頂点 $3$\text{C}$ の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ とすると，三角形 $3$\text{ABC}$ の重心の位置ベクトル $3$\displaystyle{{g}\limits^{\rightarrow }}$ は

$3$\displaystyle{{g}\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)}$

である．

参考：三角形の重心の問題

■導出

三角形の重心は，辺 $3$\text{BC}$ の中点を $3$\displaystyle{{\text{A}}^{\prime }}$ とすると，重心 $3$\text{G}$ は線分 $3$\text{A}{\text{A}}^{\prime }$ を $3$\displaystyle{\text{2:1}}$ に内分する点である．よって，重心 $3$\text{G}$ の位置ベクトル $3$\displaystyle{{g}\limits^{\rightarrow }}$ は

$3$\displaystyle{{g}\limits^{\rightarrow }={a}\limits^{\rightarrow }+{ \text{AG} }\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{={a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \text{A}{\text{A}}^{\prime } }\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{={a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{C}{\text{A}}^{\prime } }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

$3$\displaystyle{={a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \text{CB} }\limits^{\rightarrow } }\right)}$

$3$\displaystyle{={a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left{{ \left({ {c}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right)+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ {b}\limits^{\rightarrow }- {c}\limits^{\rightarrow } }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{={a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left{{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{c}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{b}\limits^{\rightarrow } }\right}}$

$3$\displaystyle{={a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{c}\limits^{\rightarrow }- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{b}\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)}$

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最終更新日 2025年11月2日