置換積分の問題

■問題

点 $3$\text{A}$ $3$\displaystyle{ \left({ - 2,0 }\right) }$ ，点 $3$\text{B}$ $3$\displaystyle{\left({ 0,4 }\right)}$ ，点 $3$\text{C}$ $3$\displaystyle{\left({ 4,0 }\right)}$ を頂点とする三角形の重心の座標を求めよ．

■ヒント

平面の重心の計算より

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{G}} = \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}\int _{a}^{b} xf $x$ dx }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{\text{G}} = \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}\int _{c}^{d} yg $y$ dy }$

の公式を用いる．

■解説

三角形の面積 $3$S$ は

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot 6\cdot 4=12}$ ･･････(1)

点 $3$\text{A}$ $3$\displaystyle{ \left({ - 2,0 }\right) }$ ，点 $3$\text{B}$ $3$\displaystyle{\left({ 0,4 }\right)}$ を通る直線の方程式は

$3$\displaystyle{y=2x+4}$ ･･････(2)

点 $3$\text{B}$ $3$\displaystyle{ \left({ 0,4 }\right) }$ ，点 $3$\text{C}$ $3$\displaystyle{\left({ 4,0 }\right)}$ を通る直線の方程式は

$3$\displaystyle{y=- x+4}$ ･･････(3)

である．よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{\text{G}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - 2 }^{4} xf\left({x}\right) }dx}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}\left{{ \displaystyle{ \int _{ - 2 }^{0} x\left({ 2x+4 }\right) }dx+\displaystyle{ \int _{0}^{4} x\left({ - x+4 }\right) }dx }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}\left{{ \displaystyle{ \int _{ - 2 }^{0} \left({ 2{x}^{2}+4x }\right) }dx+\displaystyle{ \int _{0}^{4} \left({ - {x}^{2}+4x }\right) }dx }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}\left{{ \left[{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+2{x}^{2} }\right] _{ - 2 }^{0}+ \left[{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+2{x}^{2} }\right] _{0}^{4} }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}\left{{ \left({ \frac{\hspace{2} 16 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- 8 }\right)+\left({ - \frac{\hspace{2} 64 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+32 }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ ･･････(4)

(2)，(3)を $3$\displaystyle{x=}$ の形に式変形をすると

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}y- 2}$ ･･････(5)

$3$\displaystyle{x=- y+4}$ ･･････(6)

よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{\text{G}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{4} yg\left({y}\right)dy }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{4} y\left{{ \left({ - y+4 }\right)- \left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}y- 2 }\right) }\right}dy }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{4} y\left({ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}y+6 }\right)dy }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{4} \left({ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{2}+6y }\right)dy }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}\left[{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{3}+3{y}^{2} }\right]_{0}^{4}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}\left({ - 32+48 }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 16 \hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ ･･････(7)

以上より，重心の座標は

$3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)}$

となる．

三角形の重心 $3$\displaystyle{{g}\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ を用いると

$3$\displaystyle{{g}\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left{{ \left({ - 2,0 }\right)+\left({ 0,4 }\right)+\left({ 4,0 }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ 2,4 }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)}$

となり，積分で求めた座標と一致する．

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>定積分の問題>>区分求積法の問題

最終更新日： 2025年11月2日