平面(薄板)の重心

図のような赤色の平面の重心 $3$\displaystyle{\text{G}}$ の座標 $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{\text{G}},\hspace{1}{y}_{\text{G}} }\right)}$ は

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{G}}=\frac{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{a}^{b} xf\left({x}\right)dx } \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{a}^{b} f\left({x}\right)dx } \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{\text{G}}=\frac{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{c}^{d} yg\left({y}\right)dy } \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{c}^{d} g\left({y}\right)dy } \hspace{2}}}$

と計算できる．

■導出

まず，平面の質量 $3$\displaystyle{M}$ を求める．

面積 $3$\displaystyle{S}$ を短冊状に分割し定積分の考え方を用いて求めると

$3$\displaystyle{S={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} f\left({ \hspace{1}{{\xi}}_{i} }\right){\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{a}^{b} f\left({x}\right)dx }}$ 　･･････(1)

( $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\xi}}_{i} }$ の位置の微小な幅 $3$\displaystyle{ {\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }$ の短冊状の面積は $3$\displaystyle{ f\left({ \hspace{1}{{\xi}}_{i} }\right){\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }$ )

となる．面密度を $3$\displaystyle{{\rho}}$ とすると質量は

$3$\displaystyle{M={\rho}S={\rho}\displaystyle{ \int _{a}^{b} f\left({x}\right)dx }}$ 　･･････(2)

次に，立体の重心 $3$\displaystyle{\text{G}}$ の $3$\displaystyle{x}$ 座標 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{G} }$ を求める．

「重心」の定義は「物体の各部分に働く重力の合力の作用点」であり， $3$\displaystyle{x}$ 軸と交わり $3$\displaystyle{x}$ 軸と重力の方向に垂直な回転軸の回りに関して「重力による力のモーメント」＝「各々の力のモーメントの和（連続体の場合は積分）」が成り立たつ．力のモーメントの正方向が反時計回りの方向であることを考慮すると

$3$\displaystyle{- Mg\hspace{1}{x}_{\text{G}}=- { \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} {\rho}\left({ f\left({ \hspace{1}{{\xi}}_{i} }\right){\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }\right)g\hspace{1}{{\xi}}_{i} }}$

( $3$\displaystyle{g}$ は重力加速度の大きさ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\xi}}_{i} }$ の位置の微小な幅 $3$\displaystyle{ {\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }$ の短冊状の質量は $3$\displaystyle{ {\rho}\left({ f\left({ \hspace{1}{{\xi}}_{i} }\right){\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }\right) }$ ，重力は $3$\displaystyle{ {\rho}\left({ f\left({ \hspace{1}{{\xi}}_{i} }\right){\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }\right)g }$ )

$3$\displaystyle{- Mg\hspace{1}{x}_{\text{G}}=- {\rho}g{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{{\xi}}_{i}f\left({ \hspace{1}{{\xi}}_{i} }\right){\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }}$

定積分の定義より

$3$\displaystyle{- Mg\hspace{1}{x}_{\text{G}}=- {\rho}g\displaystyle{ \int _{a}^{b} xf\left({x}\right)dx }}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{\text{G}}=\frac{\hspace{2}{\rho}\hspace{2}}{\hspace{2}M\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{a}^{b} xf\left({x}\right)dx }}$

(2)より

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\rho}\hspace{2}}{\hspace{2} {\rho}S \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{a}^{b} xf\left({x}\right)dx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{a}^{b} xf\left({x}\right)dx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{a}^{b} xf\left({x}\right)dx } \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{a}^{b} f\left({x}\right)dx } \hspace{2}}}$

同様にして，重心の $3$\displaystyle{y}$ 座標 $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{\text{G}}}$ を求めることができる．

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最終更新日： 2023年11月15日