和の極限としての定積分の定義

原始関数で定積分を定義すると，定積分の意味することがらが理解しにくい．よって，和の極限としての定積分の定義を以下に示す．

関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ は閉区間 $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ で定義されている．この区間 $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ を

$3$\displaystyle{ a=\hspace{1}{x}_{0}< \hspace{1}{x}_{1}< \hspace{1}{x}_{2}< \cdots }$ $3$\displaystyle{ < \hspace{1}{x}_{ n- 1 }< \hspace{1}{x}_{n}=b }$

となる $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{i}\text{\hspace{5}} $ i=0,1,2,\cdots ,n $ }$ で $3$n$ 個の小区間に分割し， $3$\displaystyle{ {\Delta}\hspace{1}{x}_{i}=\hspace{1}{x}_{i}- \hspace{1}{x}_{ i- 1 } }$ 　 $3$\displaystyle{ $ i=1,2,3,\cdots ,n $ }$ と定める． $3$\displaystyle{ {\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }$ の中で最大の値を $3$\displaystyle{{\Delta}}$ で表す．それぞれの区間 $3$\displaystyle{ \[ \hspace{1}{x}_{ i- 1 },\hspace{1}{x}_{i} \] }$ の中に任意の点 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\xi}}_{i} }$ をとり， $3$\displaystyle{ {\Delta}\hspace{1}{S}_{i}=f $ \hspace{1}{{\xi}}_{i} $ {\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }$ となる値を $3$\displaystyle{ i=1 }$ から $3$n$ まで足し合わせた値（リーマン和と呼ぶ）

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{S}_{n}={\sum }\limits_{ i=1 }^{n} {\Delta}\hspace{1}{S}_{i} }$

$3$\displaystyle{ ={\sum }\limits_{ i=1 }^{n} f $\hspace{1}{{\xi}}_{i}$ {\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }$

$3$\displaystyle{ ={\sum }\limits_{ i=1 }^{n} f $\hspace{1}{{\xi}}_{i}$ $ \hspace{1}{x}_{i}- \hspace{1}{x}_{ i- 1 } $ }$

を考える．ここで，閉区間 $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ の分割数 $3$n$ の値を大きくしていく（ $3$\displaystyle{{\Delta}}$ の値を小さくしていく）と，分割の仕方および $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\xi}}_{i} }$ のとり方に関係なくある値 $3$S$ に収束するなら，式で示すと，

$3$\displaystyle{ S={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} f $ \hspace{1}{{\xi}}_{i} $ $ \hspace{1}{x}_{i}- \hspace{1}{x}_{ i- 1 } $ }$

となるなら， $3$\displaystyle{ f $x$ }$ は $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ で積分可能であるといい，

$3$\displaystyle{ S=\int _{a}^{b} f $x$ dx }$

と表し， $3$a$ から $3$b$ までの定積分という．

閉区間 $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ で関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ が連続ならば， $3$\displaystyle{ f $x$ }$ は $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ で積分可能となる．

区間 $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ で $3$\displaystyle{ f $x$ \geq 0 }$ とすると， $3$\displaystyle{ {\Delta}\hspace{1}{S}_{i}=f $ \hspace{1}{{\xi}}_{i} $ {\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }$ の値は長方形の面積になり，分割を限りなく細かくしたときの長方形の面積の和，すなわち $3$\displaystyle{ \int _{a}^{b} f $x$ dx }$ は，関数 $3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ の曲線と $3$x$ 軸で挟まれた領域で，区間 $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ の面積を表す（定積分と面積を参照のこと）．

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最終更新日： 2025年4月27日